1、第 卷 第期佳 木 斯 大 学 学 报（自 然 科 学 版）年 月 （）文章编号：（）分布荷载作用下梁的弯矩极大值的求解王静平，刘凡，陈哲，葛仁余（安徽工程大学机械工程学院，安徽 芜湖 ）摘要：机械类 机械基础 课程的弯曲内力教学中，均布载荷作用下的梁段上弯矩图是二次曲线，线性分布载荷作用下的梁段上弯矩图是三次曲线，计算二次曲线和三次曲线弯矩的最大值是教学重点和难点。通过教学总结了曲线型弯矩最大值的求解规律和方法，然后给出了个具体的示范教学案例说明。关键词：机械基础；弯曲内力；弯矩最大值；案例中图分类号：文献标识码：引言 机械基础 是高等院校非机类专业学生的一门技术基础课，其知识体系庞杂，公式
2、繁多，且与工程实际紧密相连，教学过程中难度很大，如何提高课堂教学效率是摆在每一名机械基础课程教师面前的一个难题。弯曲内力、弯曲应力和弯曲变形是工科“机械基础”教学中的重点，其中，弯矩图是弯曲强度和刚度计算的基础，而且在求梁的弯曲变形时，能量法和图乘法皆要用到弯矩图。关于课程中弯曲内力的教学研究，陈莘 莘等在教学方法上做了一些研究，在实践中取得了较好的教学效果，他们认为用截面法作内力图时，频繁地作截面不但降低了作图速度，且使错误增多，降低了作图的准确性。朱维伟等提出了一种改进的设正法求解弯曲内力，提高学生弯曲内力分析的能力且有效降低出错率。肖建清从弯曲内力的概念、符号规定、计算以及内力图绘制四个
3、方面进行了研究和探讨。朱伊德提出一种合二而一的方法计算弯矩方程和剪力方程，无需区分静定与超静定梁，无需进行微分与积分运算，对于挠曲线方程也无需分段。陈建伟等从已有的内力截面法求解入手，采用图解法引导学生直观理解弯矩和剪力的概念和计算方法。钱丽璞充分利用了 软件的特点，研制了梁的弯曲内力多媒体演示系统，将教材内容通过生动形象的图、文、声、像有机组合成多媒体演示系统，大大提高了学生的学习兴趣。以上有关弯曲内力教学研究，很少涉及曲线型弯矩最大值问题的教学讨论，这里将对二次曲线、三次曲线弯矩的最大值问题展开教学研究。众所周知，当某梁段上受均布荷载、线性分布荷载作用时，剪力图分别为斜直线、二次曲线，弯矩
4、图分别为二次曲线和三次曲线，如果需要完整、准确地绘制出该梁段上的二次或三次曲线弯矩图，计算曲线型弯矩最大值是教学中的一个关键环节。曲线型弯矩最大值的求解均匀分布荷载下的弯矩最大值求解如图所示，设简支梁的某梁段 上作用均匀 分 布 的 外 荷 载，端 剪 力 和 弯 矩 分 别 为、，端剪力和弯矩分别为、。载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系为（）（）由式（）可得剪力图为一斜直线，弯矩图为一个二次曲线。由于，所以，时，即剪力为零处为抛物线的顶点。为了计算弯矩的最大值 ，首先，求出剪力为零的位置。可用外力直接法求解，即，解出，（）求出后，再由外力直接法计算弯矩最大值 ，即 （）（）线性分布荷载下的弯
5、矩最大值求解如图所示，设简支梁的某梁段 上作用收稿日期：基金项目：安徽工程大学校级本科教学质量提升计划重点项目（）；安徽省教学质量工程研究项目（）。作者简介：王静平（），男，副教授，硕士，研究方向：机械设计与制造。佳 木 斯 大 学 学 报（自 然 科 学 版）年线性分布的外荷载，最大载荷集度为，端剪力和弯矩分别为、，端剪力和弯矩分别为、，根据载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系式（），可得剪力图为一个二次曲线，弯矩图为一个三次曲线。同理，由于，所以，时，即剪力为零处为三次曲线的顶点，弯矩的最大值 。图梁段上作用均布荷载的剪力图和弯矩图图梁段上作用线性分布荷载的剪力图和弯矩图设梁段上剪力为零处位
6、置为，对应的载荷集度为，则根据相似三角形的比例关系，有（）根据外力直接法，梁上位置处剪力为零有，（）图教学实例一示意图则梁上位置处为三次曲线的顶点。求出后，再根据外力直接法计算 ，即 （）教学案例分析教学案例一如图所示，一跨度为的简支梁 ，梁 的中点为点，在梁段 上作用方向向下、载荷集度为的均布载荷，距离端为的处有一集中力偶，试求 段弯矩最大值 。具体求解过程如下：第一步：计算梁的约束反力 和 根据静力学平衡，列一个力矩平衡方程，（），（）解出，再建立一个方向力的投影平衡方程，（）第期王静平，等：分布荷载作用下梁的弯矩极大值的求解解出，第二步：计算二次曲线弯矩最大值设 梁段上剪力为零的位置距离
7、端的距离为（如图），根据剪力为零，由外力直接法列出一个关于的一元一次方程，（）解这个一元一次方程，得，因此，二次抛物线弯矩图的最大值位置在距离右端点处处，再次利用外力直接法可以计算出 。（）全梁剪力图和弯矩图如图所示。教学案例二如图所示，跨度为的简支梁 ，梁的中点为点，在梁段 上作用方向向下、载荷集度为的 线 性 分 布 载 荷，试 求 段 弯 矩 最 大 值 。具体求解过程如下：第一步：计算梁的约束反力 和 根据静力学平衡，列一个力矩平衡方程，（），（）解出，再建立一个方向力的投影平衡方程，（）解出，图教学实例二示意图第二步：计算三次曲线弯矩最大值设梁段 上剪力为零处位置距离 端为，对应的载
8、荷集度为，根据相似三角形的比例关系，有.（）利用外力直接法列出一个关于的一元一次方程，（）解出，梁上位置处为三次曲线的顶点，即弯矩的最大值 ，再由外力直接法可知，（）全梁剪力和弯矩如图所示。教学案例三如图所示，跨度为的悬臂梁 ，梁的中点为点，端为固定端，端为自由端，在梁段 上作用方向向下、载荷集度为的均匀分布载荷，自由端处作用一方向向上的集中载荷，试求梁 上弯矩最大值 。具体的求解过程如下：图教学实例三示意图第一步：计算梁 固定端的约束反力 和 根据静力学平衡，列一个力矩平衡方程，（），（）解出，再建立一个方向力的投影平衡方程，佳 木 斯 大 学 学 报（自 然 科 学 版）年，（）解出，第二
9、步：计算二次曲线弯矩最大值 设 梁段上剪力为零处位置距离中点 的距离为（如图），由外力直接法列一个关于的一元一次方程，有（）解一元一次方程式（），得，因此，二次抛物线弯矩图的最大值 二次位置在距离中点的位置处，而距离悬臂梁 固定端 的距离为，再次利用外力直接法可以计算出二次抛物线弯矩图的最大值 为，（）全梁剪力图和弯矩图如图所示。总结“机械基础”课程的弯曲内力教学中，计算分布载荷作用下的梁段上二次或三次曲线型弯矩的最大值是教学难点和重点。当梁段上受方向向下的均布载荷作用时，梁段上的剪力图为一斜直线，弯矩图为一开口向下的二次曲线；当梁段上受方向向下的线性分布载荷作用时，梁段上的剪力图为一二次曲线
10、，弯矩图为一开口向下的三次曲线，获得二次或三次曲线型弯矩的最大值是精确绘制弯矩图的重要环节。这里总结了分布荷载作用下的梁段上剪力为零位置的确定、二次和三次曲线型弯矩最大值求解的规律。参考文献：王希波机械基础 北京：中国劳动社会保障出版社，刘鸿文 材料力学 北京：高等教育出版社，陈莘莘，李庆华 材料力学中弯曲内力的教学研究 株洲工学院学报，（）：朱维伟，冯国建，杜俊，等材料力学课程中内力求解的改进设正法及其教学实践 西南师范大学学报（自然科学版），（）：肖建清材料力学弯曲内力的教学思考职业教育（下旬刊），（）：朱伊德 计算梁弯曲变形和内力的简易方法 力学与实践，（）：陈建伟，王兴国，杨梅，等材料力学中弯曲内力概念及计算的图例法教学设计 河北联合大学学报（社会科学版），（）：钱丽璞梁弯曲内力多媒体演示系统的设计沧州师范专科学校学报，（）：（上接 页），（，；（），）：，：；
