1、 工程前沿17工程技术研究 第 8 卷 总第 130 期 2023 年 1 月飞机机动性是影响其任务效能的关键性能之一1-3。持续盘旋性能和爬升性能分别代表了水平面和垂直面的占位能力，可被持续盘旋角速度和单位重量剩余功率所表征，具有重要的实战意义4。随着飞行中的燃油消耗，机动性数据也随着总质量一起变化，其幅度往往不可忽略。一种飞机在公开文献中给出的性能数据，往往只针对某一个质量成立5，所以在实际操作中经常需要将某一项性能在不同的质量之间换算。某些性能（如由气动力决定的持续盘旋法向过载）和质量有简单的反比关系（以下简称质量反比律）。某些性飞机机动性随质量变化的换算问题研究王贤川北京航空航天大学，
2、北京 100191摘要：文章以牛顿力学分析了质量反比律的适用范围和误差，给出了持续盘旋角速度峰值须满足的微分方程；提出并证明了用加速性计算单位重量剩余功率的定理，以及一种对比机动性的载油标准；针对几种机型的公开性能数据进行对比验证，证明了方法的正确性。关键词：飞机机动性；持续盘旋角速度；质量反比律Abstract:In this paper,the application range and error of the inverse mass law are analyzed by Newton mechanics,and the differential equation that the
3、peak value of the sustained turning rate must satisfy is given.The theorem of calculating the specific excess power by acceleration is proposed and proved,and a fuel load standard for comparing the maneuverability is proposed.The public performance data of several types of aircrafts are compared and
4、 verified,and the results show the correctness of the method.Key Words:aircraft maneuverability;sustained turning rate;inverse mass law分类号：V271.4Research on the Conversion of Aircraft Maneuverability with Mass ChangeWANG XianchuanBeihang University,Beijing 100191,China006.DOI:10.19537/ki.2096-2789.2
5、023.02.作者简介：王贤川，男，本科，研究方向为飞行力学和飞行控制。能（如持续盘旋角速度峰值）和质量只有近似的反比关系，在某些场景下会导致误差，比如被过载限制饱和造成的持续盘旋角点速度（持续盘旋角速度峰值点对应的空速）移动而导致的误差。此外很多机型并没有公开特定质量下的单位重量剩余功率数据。现有文献的普遍做法是给出一个典型任务质量下的性能，如在对比 FC-1 与竞争机型时6，各机都给了典型任务质量。Mig-29A 飞行员培训教材（中译本）7估计了部分西方飞机的性能，也都使用了固定的任务质量，这不利于用户查找其他质量下的性能。为了方便用户，文献5罗列了 F-15C MISP 各种质量下的性能
6、，但是无法面面俱到，而且质量的采样受到分辨率限制。为了实现快速换算，文献1以分段函数的形式给出了性能和质量之间的近似关系，但是分段数量较少，近似度不足，仍有较明显的误差，且并没有解决角点速度移动的问题，造成了额外的误差累积。文章通过飞行动力学解决上述问题，提出了换算方法，经过和公开文献对比，验证了方法的正确性。1 质量反比律1.1 由气动力决定的持续盘旋角速度当质量变化时，应先计算由气动力决定的盘旋角速度，然后对其进行过载上限饱和。由气动力决定的持续盘旋角速度和法向过载系数有如下关系：()()21aeroaerogNvvv=（1）式中：aero和 Naero分别为由气动力决定的持续盘旋角速度和
7、法向过载系数，它们都是实际空速 v 的函数；g 为重力加速度。结构强度的限制尚未考虑，即 Naero可能超载。将18 工程前沿 2023 年 第 02 期 总第 130 期 工程技术研究式（1）改写为()()()211aeroaeroaerogNvvvNv=（2）分析 aero的峰值 max(aero)。式（2）的第一项显然与总质量成反比。考虑到目前高性能机型的持续盘旋角点速度附近对应的过载普遍在 6g 以上1-2,7，可知第二项与第一项的差异不超过 1.4%。因此，max(aero)很好地满足了质量反比律。以微分的形式可写为()dmax1daeroCm=（3）式中：m 为总质量；C 为常数。
8、在低速区和高速区，Naero较小，质量反比律不成立。当质量增加时，max(aero)对应的空速会小幅度右移，质量下降时会小幅度左移，但基于同样的原因，移动量可以忽略。1.2 被过载上限饱和的持续盘旋角速度根据定义，被过载上限饱和的持续盘旋角速度(v)可写为如下形式：（4）式中：Nmax为法向过载系数上限。对于现代先进机型，Nmax通常在 7.5 9.0。考虑(v)的峰值 max()，当峰值点未被饱和时，情况与max(aero)相同。当被饱和时，其随总质量的变化量如图 1 所示。质量反比律在峰值点附近出现明显的误差。根据微元的几何关系容易得到经过修正的微分方程，具体如下：()12max11dkC
9、kdm=dd（5）式中：C 为常数；k1为(v)在角点速度对 v 的导数；k2为函数在角点速度对 v 的导数。k1显然非负，否则峰值点将在更左侧取到，与角点速度矛盾。恒成立，因此该微分方程可以较方便地用数值方法求解。即使不求解而只做定性分析，与式（3）比较，由于因子1211kk，易见质量上升时，直接用质量反比律会低估持续盘旋角速度；质量下降时，直接用质量反比律会高估持续盘旋角速度，可总结为如下定理。定理 1：质量反比律得到的持续盘旋角速度峰值变化量的绝对值，不小于真实变化量的绝对值。持续盘旋角速度包线，两条线分别对应不同的质量被法向过载上限饱和掉的持续盘旋角速度包线质量反比律近似变化量实际变化
10、量放大法向过载上限图 1 被过载上限饱和的持续盘旋角速度峰值点随重量的变化（注：图中虚线部分为被饱和的部分，将峰值点邻域放大后可见质量反比律并不适用）对于某些机型 1,4，由于 k1和 k2有相同的数量级，质量反比律的误差不可忽略。文献1提供的分段函数快速查表换算法虽然简洁，但只适用于非峰值点。在峰值点附近有一定误差。1.3 单位重量剩余功率如不加说明，通常只讨论 1g 法向过载下的单位重量剩余功率2（记为 SEP）作为垂直机动能力的指标。根据其定义式：（6）对于现代先进机型，单位重量剩余功率的峰值通常在跨音速取到1-3,7，阻力的主要成分为零升阻力，对质量的小幅度变化不敏感，易见式（6）很好
11、地满足了质量反比律。1.4 外挂两枚空-空导弹的影响以发射质量为 87 kg 的 AIM-9M 导弹，或发射质量为 156.5 kg 的 AIM-120A 导弹为例，在文献1中，其阻力指数为 4 6，而以式（5）将总阻力指数为 0、质量为 9 982 kg 的持续盘旋曲线换算到 11 797 kg，与阻力指数为 50、质量为 11 797 kg 的持续盘旋曲线相对比，可见阻力指数变化幅度 50 导致的持续盘旋角速度峰值变化幅度约为 0.5/s，根据插值可知，两枚导弹的阻力指数对性能的影响明显低于其质量对性能的影响。因此，就性能的影响而言，两枚外挂空-空导弹可等效为同质量的内载燃油，而忽略其阻力
12、增量。导弹的挂架和转接梁阻力指数往往高于导弹本身，通常不可忽略。2 根据加速性计算 SEP 峰值的下界为了验证质量反比律，最好能直接从一种飞机的 工程前沿19工程技术研究 第 8 卷 总第 130 期 2023 年 1 月可信数据来源（飞行测试报告、飞行员操作手册等）直接获取不同质量下的数据进行对比8-10。然而某些飞机的相关数据并不完备，例如 F-16C 操作手册1并未给出 SEP 峰值。为了解决这个问题，文章提出一种根据加速性计算 SEP 峰值下界的方法。定理 2：记 SEP 峰值为 max(SEP)。若飞机从速度v1到速度 v2的水平加速时间为 t，则如下关系成立。()2221max2v
13、vSEPgt（7）证明如下：根据式（6）和牛顿第二定律，有avSEPg=（8）式中：a 和 v 分别为 1g 法向过载下的纵向加速度和速度，且均为时间的函数。注意到av=?，考虑如下积分：21222100011dddd2tttvvvvavSEPvvv vgggg=?（9）根据积分第一中值定理：()0dmaxtSEPSEP t（10）根据式（9）和式（10），证毕。易见式（7）对 max(SEP)的下界估计是最优的，因为理论上当飞机的 SEP 为常数时可以取到等号。实际情况中，因为推力和阻力随空速的复杂函数关系，这一条件无法满足，所以取不到等号。3 性能验证与讨论3.1 质量标准通常对比飞机性能
14、时使用的标准为 50%内油7。这对于载油系数较大的飞机，如 F-35 或 Su-27 并不合适，因为其 50%内油所支持的留空时间显著长于其他飞机，较多的载油会导致其性能较低的假象。为修正这一缺陷，笔者提出如下标准：各机应携带能维持相同加力时间的内油。记发动机单位油耗为 SFC，根据油耗公式，有：耗油量=SFC 推力 时间（11）可知载油量应与 SFC 和总推力成正比。文章中的SFC 取各发动机厂商的公开数据，以 Su-27 单座基本型在 19 500 kg3总质量时的载油量对应的加力时间为标准。根据苏霍伊官网给出的“携带 R-27（每枚 250 kg）和 R-73（每枚 110 kg）导弹各
15、 2 枚，5 270 kg 内载油时起飞重量为 23 430 kg”反推出其在 19 500 kg 总质量时的载油量为 2 060 kg（无外挂）。根据 2 台 Al-31F 的总推力 245 kN 和加力 SFC=55.5 g/（kNs-1），易知其可支持 150 s 的加力。此外考虑到空战实践，文章要求各机留有能携带 2 枚空-空导弹的空挂架。某些机型没有固定挂架（如 Mig-29），则需要额外携带 2 个翼下挂架。其他机型如 F-16 有 2 个翼尖挂架，F-15 有 4 个进气道贴身挂架，则无须再携带额外挂架。据此可以得到其他飞机相应的总飞行质量。根据文献1，F-16C-50携带3 2
16、49 kg燃油，5 234 kg翼下载荷时的起飞质量为 17 353 kg，而支持 F110-GE129 发动机 150 s 加力的燃油为 1 046 kg，可得出与Su-27 同标准的总飞行质量为 9 910 kg。根据文献5，F-15C MSIP在携带6 103 kg燃油，926 kg 载荷（4 枚麻雀导弹）时的总质量为 20 741 kg，而支持 2 台 F100-PW220 发动机 150 s 加力的燃油为 1 711 kg，可得出与 Su-27 同标准的总飞行质量为 15 423 kg。根据文献7，Mig-29A 在携带 1 700 kg 燃油和 2 枚 R-73 导弹时的总质量为 13 490 kg，而支持 2 台 RD-33发动机 150 s 加力的燃油为 1 390 kg，可得出与 Su-27同标准的总飞行质量为 12 960 kg。FC-1 的情况复杂一些。根据成都飞机工业公司（以下简称成飞）官方数据，FC-1 的空重为 6 588 kg。为了使结论留有余量，假定这个质量为使用空重（已经包含飞行员、机炮炮弹、不可用燃油、滑油、发动机冷却液等），支持 1 台 RD-93
