1、第 卷第期复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 年 月 文章编号：（）；：改进的混沌反控制设计及在图像加密中的应用吕恩胜（河南应用技术职业学院机电工程学院，郑州 ）摘要：为产生混沌动力学行为，针对一类线性系统，设计了对称分段线性状态反馈控制器，改进了混沌反控制方法，通过调节控制器参数可对线性系统进行混沌反控制，结合最大 指数证明其混沌性，根据 判据分析其平衡点的稳定性，详细分析了混沌系统的动力学行为，利用新系统的混沌序列对图像进行加密，仿真结果直方图分布均匀、相邻像素相关性小，表明设计的混沌系统应用于图像加密系统的安全性能高。关键词：混沌；反控制；状态反馈；动力学分析；图像加密中图分类号：文
2、献标识码：收稿日期：；修回日期：基金项目：河南省高等学校青年骨干教师培养计划（）第一作者：吕恩胜（），男，河南光山人，硕士，副教授，主要研究方向为电路理论与应用、嵌入式技术。（，）：，：；引言混沌是一种普遍存在的自然现象，研究发现它对一些系统是有益处的，如混沌动力学理论应用于金融稳定、保密通信等领域，取得了显著效果且有巨大的应用前景。因此，研究人员开始关注混沌的产生，致力于非混沌系统进行混沌反控制的研究，目的是使稳定系统混沌化或混沌系统的动力学行为更加复杂。采用的方法有：时延反馈法、反馈控制法、及脉冲控制法等。反馈控制法应用最为广泛：等先后设计出的经典蔡氏电路和忆阻器蔡氏电路，均为典型的三段式
3、反馈控制系统，至今都是非线性电路研究的典范；梅春草等 利复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 年 月用相同和不同状态变量的反馈控制，能对 系统产生混沌控制和反控制，提高风能利用率；等 设计了自适应混沌反馈控制（，）方法，提高系统的鲁棒性和工作效率；刘爽等 设计了一个反馈控制器，对心脏起搏器混沌模型进行控制，使心脏从病态恢复到正常生理机能状态。为了使非混沌系统产生混沌动力学行为，文献 对式（）线性系统进行混沌反控制设计，原理如式（）所示。（），（）（），（）（）其中，常向量，是的矩阵，是的矩阵，状态变量（，），（）为切换平面，控制器（）（），是设计的核心，。矩阵的特征值为：，为了使系统式（）混
4、沌化，要求：，根据 第一法知道系统式（）是不稳定的，可得原点是式（）唯一的平衡点。设计一个合适的矩阵，使得是一个稳定矩阵，的所有特征值实部都是负值；再设计一个合适的参数，使得（）的解位于区域，（）中。使得系统在（）切换平面两侧之间来回跳跃，可得到一个简单的控制系统，该系统是分段线性的，是混沌的。针对文献 提出的混沌反控制系统，文献 也做过研究，设计的 （）较为陡峭，工程中难以实现。为了使它在工程领域中更好地发挥其应用价值，有必要做进一步的研究，设计出更合适的混沌反控制方案。设计通用的矩阵和分段线性状态反馈切换控制器，得到新的混沌系统，通过调节其系数可以实现不同的混沌反控制，丰富原系统的混沌动力
5、学行为，新的混沌系统具有更丰富的随机性及初值敏感性，在图像加密的应用中具有一定的优势。镜像混沌吸引子设计文献 设计的混沌吸引子位于平面上侧空间，设计新的（）控制器和（）切换平面，目的是使生成的混沌吸引子与文献 中的混沌吸引子关于平面镜像对称，设计的控制器（）为（）烄烆烌烎 烄烆烌烎（）设计的切换平面（）为（）槡（）新的混沌系统为烄烆烌烎 烄烆烌烎烄烆烌烎，（）烄烆烌烎烄烆烌烎，（）烅烄烆（）设系统式（）的初始值（，）（，），只有当系统位于切换平面槡之下时，控制器响应，仿真的镜像混沌吸引子如图所示，与文献 设计的混沌吸引子空间相图关于平面是镜像的。对称混沌吸引子设计文献 研究的只是一个特例，将系
6、统式（）、（）中矩阵通用化，即烄烆烌烎（）为了将式（）和文献 的控制器融合，设计的（）控制器如式（）所示。第 卷第期吕恩胜：改进的混沌反控制设计及在图像加密中的应用（）烄烆烌烎，槡烄烆烌烎，槡 （）烄烆烌烎，其它烅烄烆（）研究发现，式（）控制器（），它的前两段是分段线性的，但没有考虑到的情况，为此设计饱和函数 （），其中为增益，实现了变量的连续性，能将文献 设计的上吸引子和式（）的下吸引子连接在一起。当，时，式（）的控制器是关于平面对称的。设计的 （）函数 （），烅烄烆（）在式（）的控制器中，当时，负值 迫使轨道进入空间；当时，正值 迫使轨道进入空间。，越小 （）函数越陡峭，轨道切换速度越快，
7、但是物理实现困难，本文 。再次得到的新混沌系统为烄烆烌烎烄烆烌烎烄烆烌烎烄烆烌烎，（）烄烆烌烎烄烆烌烎烄烆烌烎，（）烄烆烌烎烄烆烌烎 （）烄烆烌烎，其它烅烄烆（）设，在 软件上采用 方法仿真系统式（），得到的对称混沌吸引子如图所示，设从到变化时，其余参数不变，图表明，该系统的最大 指数（）大于零，则此时系统处于混沌状态。图镜像混沌吸引子 图对称混沌吸引子 图最大 混沌动力学行为分析定义域式（）表示的控制器（），其定义域，可以细分为个区复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 年 月：，槡，：其它：，槡，烅烄烆（）对称性对于任何参数，系统式（）的，坐标做变换，（），（），系统的模型保持不变，且关于
8、平面是对称的。耗散性设定：，在式（）定义域范围内，式（）相空间容积（）变化率 （）可以求得，烅烄烆（）（）为初始容积（）（）（），（）（），（）（），烅烄烆（）根据设定，当!时，（），系统是耗散且混沌的，系统轨道以指数速率收缩，最终将限制在空间中的一个体积为零的集合上，其混沌动力学行为被限制在其吸引子上。系统平衡点的特性令，假设，、，可得系统式（）具有个平衡点，在区域为（，），在区域为（，），在区域为（，）。当，时，对应的，区域其平衡点是不存在的。系统式（）在平衡点（，）的 矩阵为烄烆烌烎（）该 矩阵的特征方程为（）（）（）（）（）（）根据 判据，若式（）：，（），（）时，系统式（）在平衡点（
9、，）是渐近稳定的，否则是不稳定的，又若，时，平衡点是系统式（）的 分岔点。同理：在平衡点，当（），（），时平衡点是渐近稳定的，否则是不稳定的，又若（），时平衡点是系统式（）的 分岔点；当（），（），时在平衡点是渐近稳定的，否则是不稳定的，又若（），时平衡点是系统式（）的 分岔点。参数变化的动力学分析参数变化初始值（，）（，），固定参数，时，参数变化，系统动力学行为变化如图所示。仿真相图的动力学行为表现为：当时，系统轨道衰减振荡，收敛于一个稳定的平衡点；当或时，系统轨道收敛于极限环；当时，系统是混沌的；当时，系统轨道发散。系统仿真结果与 节理论分析一致，尤其是时，图 表明系统是混沌的，与图最大
10、指数大于零结果是等价的，以下关于参数分析类同。第 卷第期吕恩胜：改进的混沌反控制设计及在图像加密中的应用图参数作用下对称混沌吸引子的相图 图参数作用下对称混沌吸引子的相图 参数变化初始 值（，）（，），固定参 数，时，参数变化，系统动力学行为变化如图所示。仿真相图的动力学行为表现为：当时，系统存在一个环；当时，系统都处于混沌状态。参数变化初始 值（，）（，），固定参数，时，参数变化，系统动力学行为变化如图所示。图参数作用下系统式（）的相图 （）仿真相图的动力学行为表现为：当时，系统发散；当 时，系统轨道衰减振荡，收敛于一个稳定的平衡点；当 时，系统是混沌的。参数、变化初始值（，）（，），固定参
11、数，参数，变化时，系统动力学行为变化如图所示。图参数、作用下对称混沌吸引子的相图 仿真相图的动力学行为表现为：仅当时系统相图对称，控制平面上半部分空间的相图，控制平面下半部分空间；当时，上半空间相图发散；当时，上半空间收敛于极限环；当 复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 年 月时上半空间系统混沌；当 时，上半空间系统收敛于一个极限环；与特性一样，可以类比分析。图双重加密流程图 在图像加密中的应用 年 首次将混沌理论引入图像加密中，由于效率高、操作速度快，伴随互联网技术的快速 发 展，混 沌 加 密 成 为 近 些 年 研 究 的 热 点 问题 。基于保密安全可靠的要求，本研究采用的是双重加
12、密，加密流程如图所示。加密原理读入明文图像，获取图像矩阵的行数和列数，将明文图像展开成一维向量，记为，大小为，对向量的任一点坐标位置（，）进行如式（）所示的改进的 变换，得到新的坐标（，），对像素点（，）和（，）交换位置，该算法仅考虑列坐标，即不考虑的作用。，为初始值，作为密钥，利用 算法计算混沌系统并迭代 次，去除前 点，得到个序列，和为伪随机变量 变换得到，如式（）所示，多次实验表明，将明文图像展开成一维向量，再将置乱后的一维向量还原成二维矩阵，比起整行整列操作，效果更好，但运算量更大。（），（，）（）；（）（）烄烆烌烎 烄烆烌烎（）（）像素位置置乱加密变换：，解密逆变换：。单一的置乱算法
13、，无论多么复杂，无法对抗明文的攻击，因此在置乱后同步扩散算法，设计的扩散处理为加取模和循环左移的算法，明文图像被展开为一维向量，、为密文向量。为自设密钥，利用 算法再次计算混沌系统并迭代 次，去除前 点，得到个序列，、为密文向量伪随机变量 变换得到，如式（）所示，加密原理如式（）所示，解密原理如式（）所示。（），）（）（）（）；（）（）（）；（）（）像素值置乱加密变换：，解密逆变换：。仿真实验结果仿真结果表明：图 、图 和表表明 明文图像在水平、垂直和对角线个方向上的相关系数接近于，图 、和表表明密文图像的像素均匀分布，其相关系数接近于，该加密算法破坏了明文图像的相关特征，表明该加密效果良好。
14、与其他加密方法对比后可知，该加密方案效果更为理想。图图像加密解密效果图 第 卷第期吕恩胜：改进的混沌反控制设计及在图像加密中的应用图 直方图 图 明文图像相邻像素分布 图 密文图像相邻像素分布 表相邻像素在不同方向上的相关系数 图像水平垂直对角 明文 文献 文献 文献 密文 结论本文以文献 的混沌系统为研究对象，利用改进的反馈控制器，进一步丰富混沌系统动力学行为，讨论了各参数对动力学行为的影响，充分展示了新系统的混沌特性。最后将混沌系统与像素值和像素位置置乱加密算法相结合，极大地增强了系统加密的安全性。在实际中，刻意产生或强化混沌动力学行为是一件有意义的事情，利用混沌的优点可以在生产中取得更加
15、理想的效果。复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 年 月参考文献：徐昌进，段振华 分数阶混沌金融模型的时滞反馈控制策略 应用数学和力学，（）：，（）：，（）：，（）：刘树勇，曾强洪，杨庆超，等基于稳定性理论的混沌反控制研究华中科技大学学报（自然科学版），（）：，（），（）：，（）：陈关荣，汪小帆动力系统的混沌化 理论、方法与应用上海：上海交通大学出版社，（）：，（）：张小红，万丽娟，龙克柳 电路的异构磁控忆阻器设计与仿真实现系统仿真学报，（）：，（）：梅春草，韦笃取基于时间加权反馈控制的永磁同步风力发电机混沌振荡研究振动与冲击，（）：，（）：，（）：刘爽，陈璐，王涛，等心脏起搏器混沌模型的线
16、性反馈控制东北师大学报（自然科学版），（）：，（），（）：杨晓松，李清都混沌系统与混沌电路北京：科学出版社，胡寿松自动控制原理 版北京：科学出版社，施浩楠，崔昊，闵富红，等基于 的彩色图像忆阻系统多稳态加密复杂系统与复杂性科学，（）：，（）：郑振华，刘其朋 基于视觉特征提取的强化学习自动驾驶系统 复杂系统与复杂性科学，（）：，（）：闫少辉，施万林，王旗羽，等 一个新三维切换混沌系统的研究与同步应用 复杂系统与复杂性科学，（）：，（）：闵富红，王珠林，王恩荣，等新型忆阻器混沌电路及其在图像加密中的应用电子与信息学报，（）：，（）：屈双惠，杨志宏，容旭巍，等 一个新忆阻混沌系统及其在图像加密中的应用 系统仿真学报，（）：，（）：，：（责任编辑耿金花）
