1、第 41 卷第 12 期大学物理Vol41 No122022 年 12 月COLLEGEPHYSICSDec2022收稿日期:20220219;修回日期:20220506基金项目:国家自然科学基金(12174052)资助作者简介:董正高(1979)，男，江苏兴化人，东南大学物理学院教授，博士，主要从事基础物理教学和人工电磁材料的研究工作复杂电磁波的动量密度董正高(东南大学 物理学院，江苏 南京211189)摘要:对均匀平面电磁波的情况，坡印廷矢量所描绘的纵向传播动量图像清晰、简明但对于具有涡旋相位或非均匀偏振态的复杂电磁波来说，坡印廷矢量能体现更丰富的动量内涵本文基于电磁波的相量表达方法，从坡
2、印廷矢量出发，在傍轴情况下分析了复杂电磁波的纵向传播动量以外的横向轨道动量、横向自旋动量，列举了几种典型电磁波中不同物理起因的横向动量特征，并结合相位分布图像进行了解释关键词:坡印廷矢量;动量密度;轨道动量;自旋动量;复杂电磁波中图分类号:O 41文献标识码:A文章编号:1000-0712(2022)12-0026-05【DOI】1016854/jcnki1000-0712220085大学物理课程的电磁学、电动力学、光学等相关教学内容中，坡印廷矢量是认识电磁波的一个重要物理量，然而对相关概念的分析并不是很深入适当拓展、深化相关概念的教学，更好地与当前科研领域相衔接，培养新时代大学生今后走上工作
3、岗位的前沿探索意识和科技创新素质，是当前课程思政教改的重要一环众所周知，在普通物理的教学中，一般以均匀平面电磁波为例，对坡印廷矢量仅限于较简单地讲解:该矢量对应电磁波的能流密度，其方向就是电磁波传播的方向1，2 相关的教学内容，很直观地让学生认识到坡印廷矢量所反映的电磁波传输的能流特征，也即电磁波具有的纵向传播动量的本质不过，对于普遍意义上的复杂电磁波来说，比如近年来引起广泛兴趣的矢量光场3，4，结合麦克斯韦方程对坡印廷矢量进行适当的数学推导，就可以发现该矢量除了包含有纵向能流对应的动量之外，还具有横向轨道动量以及一种跟电磁波偏振态相关的内禀能流 自旋动量57 本文基于对坡印廷矢量的分解，从动
4、量的角度对该矢量进行了讨论，重点阐述了几种复杂光场中坡印廷矢量所蕴含的横向轨道动量和自旋动量1坡印廷矢量在教科书中，坡印廷矢量的定义式为S(t)=E(t)H(t)(1)对于时变的电磁场来讲，式(1)是含时的瞬态表达式如果电磁波的频率非常高，比如光波，实际更关心坡印廷矢量的时间平均值教学中会通过下式来计算坡印廷矢量在一个周期 T 内的时间平均值:Sav=1TT0S(t)dt=1TT0E(t)H(t)dt(2)为了更方便地进行时谐电磁波的运算，可以用复数形式的相量来表达电磁场8 对 z 方向传播的平面电磁波来说，即把相位余弦 cos(kzt+0)用e ei(kzt+0)来表示，其中 e 表示取相量
5、的实部考虑到麦克斯韦方程组的时间偏导t即对应系数i，作此代换后，可在复数运算中舍去时谐因子eit由此，对于二次式的坡印廷矢量，其时间平均值可写成如下相量表达式8:S=12e EH*(3)其中:表示取时平值，*表示取复共轭坡印廷矢量代表电磁场能流密度，可以反映电磁能量流动的连续性，这一内涵则需从麦克斯韦方程经过简单的数学推导后，由下述微分形式的坡印廷定理表达式体现出来6，8:S=t12 E2+12H2()+E2(4)其中，、分别表示各向同性、线性、均匀媒质的介电系数、磁导率、电导率等式右边第 1 项括号内第 12 期董正高:复杂电磁波的动量密度27代表电场能量密度 wE=12E2()及磁场能量密
6、度wH=12H2()之和，第 2 项 E2则代表导电媒质的欧姆损耗功率密度(电磁能转化为焦耳热)对于时谐电磁场在损耗材料中传播的情况，可以采用复介电系数 c=+i，将电导率 归为介电系数的虚部，则上式损耗项可以隐含于12cE2项(相当于把传导电流密度归于位移电流密度)此外，坡印廷定理可以改写为如下积分形式8:SdA=12t(E2+H2)dV+E2dV(5)坡印廷定理表明:任意闭合面 A 上坡印廷矢量的负通量，等于体积内电磁能量的时间变化率与功率损耗之和显然，体积内电磁能量的单位时间增加量以及功率损耗，来源于单位时间流入体内的电磁能量因此，坡印廷矢量代表了能流密度该式体现了电磁能量的守恒特性(能
7、流连续性)，与电荷守恒(电流连续性)、动量守恒(应力张量连续性)等守恒律的形式一致上文把坡印廷矢量拆分为体积内电场能量的时间变化率、磁场能量的时间变化率、功率损耗 3 部分，在电磁波相关教科书中是常见的 然而，上述关于坡印廷矢量的推导只是从能流角度进行了分析，并没有反映复杂电磁波的不同动量内涵2复杂电磁波的动量密度事实上，既然坡印廷矢量代表的是电磁场这种特殊物质的能量密度 w 以速度 v 的流动，即 S=wv(不计能量转化为焦耳热的欧姆损耗)那么这个矢量跟电磁波的动量密度 p 就紧密联系在一起，即p=wC2v=1C2S(6)因此，我们还可以从动量的角度对坡印廷矢量进行分解对于时谐电磁波，E=B
8、t=iH由此，式(3)可以作如下变换7:S=12e EH*=12eiE(E*)=12Im E*(E)=12 Im jE*jEj Im(E*)E=12 Im E*()E+12Im E*E(7)式中 Im 为取虚部，j 为直角坐标系 x、y、z 三个分量 与前述坡印廷定理中的散度或通量表达式相对比，式(7)更能体现电磁波的运动特征，与电磁波的传播相位梯度(即波矢)、横向涡旋相位、偏振态及其不均匀分布程度等密切相关，实际上展现了电磁波的动量内涵式(7)中的第 1 项与电磁波的偏振态(自旋)无关6，该能流分量正比于轨道动量密度，反映了电磁能量的流动(传输)，是实验可直接观测的量若考虑电磁波沿+z 方向
9、传播的傍轴情况，并把纳布拉算子拆分成横向和纵向两部分，即=T+zz 那么，式(7)第 1 项除以 c2，即得轨道动量密度 porb的时平值，可表示为porb=2Im E*()E=2 Im E*(T)E+kIz(8)其中 k 为单位矢量 z 方向的传播波矢，强度 I=E*E这就把坡印廷矢量对应的轨道动量密度分解成了式(8)所示的横向轨道动量以及纵向轨道动量前者具有内禀属性，表示电磁波自身内部的涡旋运动;后者则具有外禀属性，表示电磁波外在呈现的整体流动电磁波的偏振态对应自旋，具有角动量根据自旋角动量密度 Jspin=4Im E*E 的定义6，9，线偏振态电磁波的 Jspin=0;而对于椭圆偏振态的
10、电磁波，Jspin0，且电场矢量的旋转方向与 Jspin满足右手螺旋关系因此，左旋圆与右旋圆偏振态的自旋角动量具有相反的方向由式(7)中的第 2 项可得自旋动量密度的时平值为pspin=4Im E*E=Jspin(9)对于自旋为零的线偏振电磁波、或者对于任意的均匀平面电磁波，式(9)所对应的自旋动量密度均为零另外，对其取散度，结果恒为零由坡印廷定理的微分方程式(4)可知:该动量密度不会产生电磁能量的传输(即自旋动量是局域的，对电磁能流28大学物理第 41 卷在任意闭合面上的通量没有贡献)，可类比传导电流与磁化电流的差异不过，自旋动量密度非零的不均匀光场(见下文 23 节)，可导致非保守力或力矩
11、，在光驱动纳米马达方面有一定的应用前景10，11 可见，对于复杂的矢量光场，坡印廷矢量所推导出的式(7)式(9)蕴含有丰富的动量内涵，可以划分为纵向轨道动量密度2kIz、横向轨道动量密度2Im E*(T)E、以及横向自旋动量密度Jspin三者之和对于介质中沿+z 方向传播的时谐电磁波，在傍轴条件下电场是横向偏振的，且是 z 的慢变函数(可忽略 z 的依赖性)5 因此，其相量式可表示为E(x，y，z)=E0(x，y)u(x，y)eileikz 其中:1)E0(x，y)为振幅因子(实数)，若强度均匀，则该振幅因子与坐标(x，y)无关;2)u(x，y)=x+y 为单位偏振矢量，其中、为复数，且满足归
12、一化|2+|2=1，若 u(x，y)与坐标位置(x，y)无关，则表示偏振态均匀分布的电磁波若单位矢量 x、y 方向的偏振分量同步(无相差)，则表示线偏振态;反之则为椭圆偏振态;3)eil为涡旋相位因子 其中 l 为角量子数，为横向 xy 面内的方位角，其正切值对应该位置处坐标 y 与 x 的比值，即=arctan(y/x)由于强度因子 E0(x，y)、偏振因子 u(x，y)、涡旋相位因子 eil等三者都是 x、y 坐标的函数(且前两者的具体函数关系还不明确)，直接将复振幅 E0(x，y)u(x，y)eileikz代入有关公式计算porb和Jspin的一般形式，会遇到一定的困难 下文中，我们不妨
13、通过几个典型的例子来阐述前述 3 种动量密度所对应的物理图像21均匀平面电磁波只有纵向轨道动量对于教材常用的均匀平面电磁波来说，E0、u=x+y 均为常量(与坐标无关)，且角量子数 l=0此时横截面(xy 平面)上的振幅一致、且偏振态均匀分布，其复振幅可表示为 E=E0(x+y)eikz则横向轨道动量密度的时平值为2Im E*(T)E=2Im E*xTEx+E*yTEy=0自旋角动量密度为Jspin=4Im E*E=4Im E0*eikzE0eikzz+E0*eikzE0eikz(z)=4Im E20(*)z=2E20Im*z可见，、同相位时，自旋角动量密度Jspin=0，对应线偏振态否则Js
14、pin0对于本例来说，由于 E0、都是与坐标无关的常量，将上式取旋度显然等于零，也即均匀平面电磁波的自旋动量密度恒为零综上所述，均匀平面电磁波没有任何横向动量密度，仅存在纵向传播的轨道动量密度2kIz(图 1 所示的是沿 x 方向线偏振的均匀平面电磁波)图 1线偏振平面波在损耗介质中传播22涡旋电磁波具有横向轨道动量同样假设 E0、u 均为常量(与坐标无关)，但角量子数 l0，称之为涡旋电磁波，其复振幅可表示为E=E0(x+y)eileikz此时，除了纵向轨道动量密度2kIz 之外，还存在横向的轨道动量密度，其时平值为2Im E*(T)E=2Im E*xTEx+E*yTEy=2Im E0*ei
15、leikzT(E0eileikz)+E0*eileikzT(E0eileikz)=2E20Im eilT(eil)=2E20Imilr(sin x+cos y)=l2rE20其中=sin x+cos y 为横截面内的角向单位矢量推导中采用了T的二维极坐标形式T=rr+1r上式表明:该复振幅所描述的涡旋电磁波，其横向轨道动量具有涡旋(角向)分布特征另一方面，由于这里的涡旋电磁波与上文的 21 节相比，仅第 12 期董正高:复杂电磁波的动量密度29多了一个涡旋相位因子 eil，这并不会导致两者的自旋角动量密度有任何差别因此，此处涡旋电磁波的自旋角动量密度依然为Jspin=4Im E*E=2E20I
16、m*z同样由于Jspin是均匀分布的(E0、都是与坐标无关的常量)，将上式取旋度显然等于零，也即此例涡旋电磁波的横向自旋动量密度恒为零图 2 所示是 l=2、沿+z 方向傍轴传播时的瞬态螺旋型等相位面(波前)与均匀平面电磁波相比，涡旋电磁波的波矢相对于传播方向 z 轴有固定的微小倾角，但其方向随方位角 绕着 z 轴旋转图2 中用螺旋半径的衰减代表传播过程中的振幅损耗，且螺旋中心轴上存在相位奇点(光强为 0)图 2涡旋光束的螺旋型等相位面23圆偏态高斯光束的横向自旋动量对于振幅因子 E0(x，y)不均匀分布的电磁波(如高斯光束)，假设其具有均匀的圆偏振态 u=12(x+iy)，且角量子数 l=0，其复振幅表达式为E0(x，y)12(x+iy)eikz则横向轨道动量密度的时平值为2Im E*(T)E=2Im E*xTEx+E*yTEy=2Im12E0eikzT(E0eikz)12iE0eikzT(iE0eikz)=2Im E0TE0由于振幅因子 E0(x，y)是实数，上式不含虚部，结果必然为零，即横向轨道动量密度的时平值为零该式也表明:强度不均匀不会产生横向轨道动量另一方面，自旋角动量密度
