1、高阶次 Caputo 型分数阶微分算子及其图像增强应用王相海1,2张文雅2邢俊宇2吕芳2穆振华11（辽宁师范大学地理科学学院辽宁大连116029）2（辽宁师范大学数学学院辽宁大连116029）（）High-order Caputo Fractional Order Differential Operator and Its Application inImage EnhancementWangXianghai1,2,ZhangWenya2,XingJunyu2,LFang2,andMuZhenhua11（School of Geographical Science,Liaoning Norma
2、l University,Dalian,Liaoning 116029）2（School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian,Liaoning 116029）AbstractUnlikethetraditionalintegercalculus,whichusuallyhasintuitivegeometricandphysicalmeaning,thedefinitionoffractionalcalculusisgenerallycomplexandpresentsdifferentforms.However,itscharac
3、teristicssuchasmemory and nonlocality have laid a good mathematical foundation for solving some complex problems in theengineeringfield.Atthesametime,signalandimageprocessingbasedonfractionalcalculushavealsoattractedattentioninrecentyears.Atpresent,thecommonfractionaldifferentialoperatorsusedinimage
4、processingincludeGrnwald-Letnikov(G-L)fractional differential,Riemann-Liouville(R-L)fractional differential and Caputofractionaldifferential.AlthoughG-LandR-Loperatorscanenhancetheimagetoacertainextent,theircapabilitesoftheimprovementofimagecontrastanddefinitionislimited.Atpresent,Caputodifferential
5、maskoperatorsaremostlylimitedtolow-orderoperatorsoforderin(0,1),andtheresearchandapplicationofhigh-orderoperatorsarerelativelyfew.Inthispaper,thehigh-orderCaputofractionaldifferentialoperatoranditsapplicationinimageenhancementarestudied.Firstly,a differential mask operator based on forward differenc
6、e is constructed for Caputo fractionaldifferentialwithorderin(1,2)and(2,3),anditserrorisdemonstrated;Further,thegeneralformofhigh-orderCaputofractionaldifferentialoperatorisstudied,andarepresentationbasedonmatrixisgiven.Onthisbasis,theproposedhigh-order Caputo fractional differential mask operator i
7、s applied to image enhancement,and the comparativeexperimentsofimageenhancementarecarriedoutformaskoperatorsofdifferentordersandsizes.Theexperimentalresultsshowthattheproposedhigh-orderCaputofractionaldifferentialoperatorachievesgoodimageenhancementeffect,especiallyforimprovingimagecontrast,claritya
8、ndaveragegradienthaveobviousadvantages.Key wordsfractionaldifferential；Caputofractionaldifferentialoperator；forwarddifference；imageenhancement；mask摘要近年来基于分数阶微积分的信号和图像处理受到广泛关注.目前常见的应用于图像处理的分数阶微分算子包括 G-L（Grnwald-Letnikov）型、R-L（Riemann-Liouville）型和 Caputo 型 3 种.G-L 和 R-L 算子尽管能对图像有着一定的增强效果，但其对图像对比度、清晰度的
9、提升有限；而 Caputo 型微分掩模算子目前多限于（0,1）阶的低阶算子，其高阶次算子的研究和应用相对较少.对高阶次 Caputo 型分数阶微分算收稿日期：20210915；修回日期：20220419基金项目：国家自然科学基金项目(41971388)；辽宁省高等学校创新团队支持计划项目(LT2017013)ThisworkwassupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina(41971388)andtheInnovationTeamSupportProgramofLiaoningHigherEducationDepartment(L
10、T2017013).计 算 机 研 究 与 发 展DOI：10.7544/issn1000-1239.202110942JournalofComputerResearchandDevelopment60（2）：448464，2023子及其图像增强应用进行研究，首先针对（1,2）阶、（2,3）阶次 Caputo 型分数阶微分构建一种基于向前差分的微分掩模算子，并对其误差进行了论证；其次进一步给出了更高阶次 Caputo 型分数阶微分算子的矩阵化表现形式；最后在此基础上将所提出的高阶次 Caputo 型分数阶微分掩模算子应用于图像增强.实验结果表明所提出的高阶次 Caputo 型分数阶微分算子取得
11、了很好的图像增强效果，对提升图像的对比度、清晰度和平均梯度具有较为明显的优势.关键词分数阶微分；Caputo 型分数阶微分算子；前向差分；图像增强；掩模中图法分类号TP391尽管分数阶微积分与整数阶微积分几乎同时期出现，但分数阶微积分不像整数阶微积分一般具有较直观的几何含义和物理意义，这样在发展初期，分数阶微积分由于缺少物理和工程等背景学科的支持，几乎很少受到工程领域界的关注1-2.随着对分数阶微积分及分数阶微分方程研究的不断深入，特别是当物理及工程领域中遇到的一些实际问题难以通过整数阶微积分和整数阶微分方程准确地反映其复杂特性时，而分数阶微积分具有的诸如记忆性和非局部性等特性可为相应问题的解
12、决奠定很好的数学基础3-4，分数阶微积分被物理、工程、金融经济和生物学等诸多领域重视并得以应用5-7.近年来对于图像处理领域，得益于分数阶微积分对图像边缘、纹理信息的独特应用，即分数阶微分可在有效提高图像高频信息的同时，非线性地保留图像的低频信息；而分数阶积分则可在有效提高图像低频信息的同时非线性地保留图像的高频信息8，使得分数阶微积分被应用于诸如图像增强、图像去噪、图像配准和图像识别等重要领域，取得了很好的处理效果9-10.分数阶微积分问题的讨论最早可追溯到 Newton和 Leibniz 创立的微积分时代，但直到 19 世纪末其理论体系才被建立并逐渐发展，直到 20 世纪后期分数阶微积分的
13、应用性研究才得以快速发展.不同于传统的整数阶微积分，分数阶微积分的定义通常会依据所研究问题的角度而给出不同的表现形式，目前比较经典的3 种定义形式11-12有：G-L（Grnwald-Letnikov）型、R-L（Riemann-Liouville）型和 Caputo 型定义.其中，G-L 型分数阶微积分通过对整数阶微积分差分近似公式的极限来定义，该种类型的分数阶微积分将“微分”和“积分”统一为一种表达方式，通过阶数参数的正、负取值来分别表示函数的分数阶微分和分数阶积分，并且具有计算的实值性、连续性和线性等特性，同时可通过卷积运算来完成其数值计算；R-L 型分数阶微积分在一定意义上可以看成是对
14、 G-L 型分数阶微积分的改进和扩充，该类型分数阶微积分以变限积分形式给出，这样可通过分部积分公式和 Taylor展开对其进行级数表示，从而简化了计算过程，特别对于确定一些简单函数分数的解析解具有较大优势；Caputo 型分数阶微积分也可以看成是 G-L 型分数阶微积分的改进，其表现形式也是一种变限积分形式，但不同的是 R-L 型分数阶微积分是先积分再微分，而 Caputo 型分数阶微积分是先微分再积分，避免了R-L 型的超奇异特性，同时 Caputo 定义方便解决分数阶微分方程的初边值问题，从而为工程领域分数阶微积分的有效应用奠定了基础.尽管 3 种分数阶微积分的定义从不同角度各有侧重，但其
15、在一定条件下具有等价性，具体理论分析可参见文献 11.图像增强的目的是有选择地突出图像中的重要特征，同时衰减和抑制图像中不需要的噪声，改善图像质量，为进一步的图像分析和理解奠定基础，图像增强作为图像处理的一个重要分支一直受到重视13-14.在图像增强过程中，图像的纹理、边缘等有用特征一般都需要保护和增强，而污染的噪声则需要去除.近年来随着基于分数阶微积分图像处理研究的不断深入，越来越多的基于分数阶微分的图像增强方法被提出15-16.目前基于分数阶微积分的图像增强方法总体包括变换域方法和空间域方法 2 大类.变换域方法利用诸如分数 Fourier 变换和分数 Wavelet 变换等分数变换17-
16、18将图像变换到分数频率域，依据各分数变换的特性对频率域系数进行调节以达到图像增强的目的19-21.由于分数变换具有较强的处理非平稳信号的能力，该类方法通常能很好地提高图像的对比度并获得理想的纹理效果，该类方法的不足在于在对图像进行变换处理的过程中通常会有少量噪声被引入.基于空间域的方法是直接对图像的像素实施分数阶微分操作以实现图像增强22-25，在实现图像增强的同时避免了噪声的引入，同时具有较快的计算速度.在该类方法中，分数阶微分掩模算子的设计显得尤为重要22,26-28.然而，由于分数阶微积分图像处理的研究相对较晚，再加上分数阶微积分目前还缺少一个统一的定义形式，而不同定义形式的分数阶微分掩模算子研究进展不平衡且表现出一定的差异性，比王相海等：高阶次 Caputo 型分数阶微分算子及其图像增强应用449如目前相对于 G-L 型和 R-L 型定义形式，基于 Caputo型定义形式的微分掩模算子相对较少，而 G-L 型和 R-L 型形式的分数阶微分尽管对图像纹理细节具有较好的增强效果，但对图像对比度的提升较少29.这样对适应不同定义形式分数阶微分掩模算子的研究就显得更为有意义，同时也为
