1、2023中考全国100份试卷分类汇编代数几何综合1、2023年潍坊市压轴题如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.1求抛物线的解析式；2假设直线平分四边形的面积，求的值.3把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不管取何值，直线与总是关于轴对称？假设存在，求出点坐标；假设不存在，请说明理由.答案：1因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又，即b=-2a,代入
2、上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.2由1知，令x=0,得c(0,1.5),所以CD/AB,令kx-2=1.5,得l与CD的交点F()，令kx-2=0，得l与x轴的交点E()，根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE,即：3由1知所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为假设在y轴上存在一点P(0，t)，t0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为MPO=NPO,所以RtMPM1RtNPN1,所以,(1)不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴
3、正半轴上，那么1式变为,又yM =k xM-2, yN=k xN-2, 所以t+2(xM +xN)=2k xM xN,(2)把y=kx-2(k0)代入中，整理得x2+2kx-4=0,所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入2得t=2,符合条件，故在y轴上存在一点P0,2，使直线PM与PN总是关于y轴对称.考点：此题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式确实定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：此题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一
4、体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。2、绵阳市2023年ABCDOxyl如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为0，-2，交x轴于A、B两点，其中A-1，0，直线l：x=mm1与x轴交于D。1求二次函数的解析式和B的坐标；2在直线l上找点PP在第一象限，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标用含m的代数式表示；3在2成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存
5、在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。解：1二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为0，-2，c = -2 , - , b=0 ,点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2；点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为1，0；2BOC=PDB=90，点P在直线x=m上，设点P的坐标为m,p, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，当BOCPDB时，,p= 或p = ,点P的坐标为m，或m，；当BOCBDP时， ，p=2m-2或p=2-2m,点P的坐标为m，2m-2或m
6、，2-2m；综上所述点P的坐标为m，、m，、m，2m-2或m，2-2m；3不存在满足条件的点Q。点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上，令点Q的坐标为x, 2x2-2，x1, 过点Q作QE直线l , 垂足为E，BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，PEQ=PDB，EPQ=DBP，PEQBDP，QE=PD，PE=BD， 当P的坐标为m，时，m-x = ， m=0 m=1 2x2-2- = m-1, x= x=1 与x1矛盾,此时点Q不满足题设条件； 当P的坐标为m，时，x-m= m=- m=12x2-2- = m-1, x=- x=1 与x1矛盾,此时点Q不满足题设条件； 当P的坐标为m，2m-
7、2时，m-x =2m-2 m= m=12x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1与x1矛盾,此时点Q不满足题设条件；当P的坐标为m，2-2m时，x- m = 2m-2 m= m=12x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1与x1矛盾,此时点Q不满足题设条件；综上所述，不存在满足条件的点Q。3、2023昆明压轴题如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，假设抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D1求抛物线的解析式；2求点D的坐标；3假设点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A
8、，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：综合题分析：1由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=ax22+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；2设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；3存在，分两种情况考虑：如以下列图，当四边形ADMN为平行四边形时，DMAN，DM=AN，由对称性得到M3，即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADMN为平行四边
9、形，可得三角形ADQ全等于三角形NMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，将y=代入得：=x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN求出ON的长即可确定出N坐标解答：解：1设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E2，3，设抛物线解析式为y=ax22+3，将A4，0坐标代入得：0=4a+3，即a=，那么抛物线解析式为y=x22+3=x2+3x；2设直线AC解析式为y=kx+bk0，将A4，0与C0，3代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，那么点D坐标为1，；3存在，分两种情况考虑：当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行
10、四边形，DMAN，DM=AN，由对称性得到M3，即DM=2，故AN=2，N12，0，N26，0；当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQx轴于点Q，过点M作MPx轴于点P，可得ADQNMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，将yM=代入抛物线解析式得：=x2+3x，解得：xM=2或xM=2+，xN=xM3=1或1，N31，0，N41，0综上所述，满足条件的点N有四个：N12，0，N26，0，N31，0，N41，0点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题4、2023陕西第
11、24题图y-1Ox2-11123-23在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点A1，0、B3，0两点1写出这个二次函数的对称轴； 2设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，当AOC与DEB相似时，求这个二次函数的表达式。提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A，那么它的表达式可表示为：考点：此题在陕西的中考中也较固定，第1问主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括最短距离与面积的最值等等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似
12、，全等等问题。考查问题的综合能力要求较高，根本上都是转化为求点的坐标的过程。解析：此题中1由抛物线的轴对称性可知，与x轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴；2由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D与E的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似确实定过程中充分考虑到分类即可解决此题； 解：1对称轴为直线：x=2。2A1，0、B3，0，所以设即当x=0时，y=3a，当x=2时，y=C0，3a，D(2,-a) OC=|3a|,A1，0、E2，0，OA=1,EB=1,DE=-a|=|a|在AOC与DEB中，AOC=DEB=90当时，AOCDEB时，解得或当时，AOCBED时，此方程无解
13、，综上所得：所求二次函数的表达式为：或5、2023成都市压轴题在平面直角坐标系中，抛物线b,c为常数的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为0，-1，C的坐标为4,3，直角顶点B在第四象限。1如图，假设该抛物线过A,B两点，求抛物线的函数表达式；2平1中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.i假设点M在直线AC下方，且为平移前1中的抛物线上点，当以M,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出所有符合条件的M的坐标；ii取BC的中点N,连接NP,BQ。试探究是否存在最大值？假设存在，求出该最大值；所不存在，请说明理由。解析：1A(0,-1) C(4,3) 那么AC=ABC为等腰直角三角形 AB=BC=4B点(4,-1)将A,B代入抛物线方程有2当顶点P在直线AC上滑动时，平移后抛物线与AC另一交点Q就是A点沿直线AC滑动同样的单位。下面给予证明： 原抛物线 顶点P为(2,1)设平移后顶点P为(a,a-1),那么平移后抛物线 联立y=x-1(直线AC方程)得Q点为a-2,a-3PQ= 即实际上是线段AP在直线AC上的滑动. 点M在直线AC下方，且M,P,Q构成等腰直角三角形，那么先考虑使MP,Q构成
