1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1 4.1 数学期望数学期望 引例引例1 分赌本问题(产生背景)甲、乙甲、乙 两人赌技相同两人赌技相同,各出各出 赌金赌金50元元,并约定先胜三局者为并约定先胜三局者为 胜胜,取得全部取得全部 100 元元.由于出现意由于出现意 外情况外情况,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博,如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?2 甲甲 胜胜 2 局局 乙乙 胜胜 1 局局 前三局前三局:后二局后二局:把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果 相结合,即 甲和乙 赌完五局,A A
2、 A B B A B B 甲甲胜胜 乙乙 胜胜 分析：分析：假设继续赌两局,用A和B分别表示甲和乙获胜，则结果有以下四种情况:A A A B B A B B 3 因此,甲 能“期望期望”得到的数目应为 31100044 75(),元而乙 能“期望期望”得到的数目,则为 13100044 25().元 故有,在赌技相同的情况下,甲、乙 最终获胜的可能性大小之比为3:1.即甲 应获得赌金的3/4，而 乙 只能获得赌金的1/4.4 因而甲期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于 即,X 的可能值与其概率之积的累加.31100075().44 元 若设随机变量 X 为:在甲胜2局乙胜1局的前提下,继续赌
3、下去甲最终所得的赌金.则X 的分布列为:10003/41/45 设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下 引例引例2 射击问题 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?5432101513220103090159013902902090109030命中环数命中环数 k 命中次数命中次数 频率频率 knnnk6 解解 平均射中环数平均射中环数 射击次数射击次数射中靶的总环数射中靶的总环数 0 2 1 132 153 104 205 3090 21315102030012345909090909090 .37.3 50kknnk7 50kknn
4、k 平均射中环数平均射中环数 频率随机波动频率随机波动 随机波动随机波动 50kknnk n 50kkpk随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平均射中环数”平均射中环数”的稳定值的稳定值?“平均射中环数”平均射中环数”等于等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加射中环数的可能值与其概率之积的累加 8 2.2.2 数学期望的定义数学期望的定义 定义定义 2.2.1 设离散型随机变量X的分布律是()iipP Xx,1,2,in 如果1iiix p收敛，则称随机变量的数学期望存在，并称1iiix p为随机变量X的数学期望数学期望，简称期望期望或均值均值，记作()E X即 1()iiiE Xx p 9
5、定义定义2.2.2 设连续型随机变量 X 的概率密度为f(x),若积分()dxf xx绝对收敛,则称 的值为 X 的数学期望数学期望,记为E(X),即有()dxf xx()()dE Xxf xx数学期望数学期望简称为期望期望,又称为均值均值.10 例例4.1.14.1.1 甲、乙两个人进行射击,所得的分数分别为,21XX它们的分布律分别为 1X2Xkpkp6.02.02.02104.05.01.0210试评定他们成绩的好坏.解解 甲乙两个人得分的数学期望分别为 4.16.022.012.00)(1XE3.14.025.011.00)(2XE由于)()(21XEXE故甲的成绩强于乙的成绩.11
6、例例4.1.24.1.2 设随机变量X服从参数为p的0-1分布，试求X 的数学期望.解解 由题意知X的分布律为 011XPpp故 pppXE1)1(0)(12 例例4.1.3 4.1.3 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方法,记使用寿命为X(以年计),规定 一台付款1500元;,1X 一台付款2000元;,21 X 一台付款2500元;,32 X 一台付款3000元;,3X设寿命X服从参数为0.1的指数分布,试求该商店一台收费Y的数学期望.13 解解 由题意,X的分布函数为 Y的可能的取值为1500,2000,2500,3000，且 10()1 exF x)0(x0952.0e1)
7、1(115001.0FXPYP0861.0)1()2(212000FFXPYP0779.0)2()3(322500FFXPYP7408.0)3(133000FXPYP所以 15.27327408.03000779.025000861.020000952.01500)(YE即平均一台收费2732.15元 14 例例4.1.44.1.4 设X服从参数为 的泊松分布,求 X 的数学期望.解解 由于X的分布律为()e0,1,2,!kP Xkkk故 101()eee e!(1)!kkkkE Xkkk101e!(1)!kkxkkxxkk15 例例4.1.54.1.5 设,baUX求)(XE解解 由于 X
8、的概率密度为 1,()0,elseaxbf xba故()()ddbaxE Xxf xxxba22112baxabba16 例例4.1.64.1.6 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布,求).(XE()E X dxf xx0edxxx1 e,0()0,elsexxf x解解 17 例例4.1.74.1.7 设随机变量 ,求E(X).),(2NX 解解 22()21()e2xE Xxdx令 xu则 2222221()()ed2eded22uuuE Xuuuuu18 例例4.1.84.1.8在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此要抽验N个人的血,可以用两种方法.(1)将每个人的血分别去验,这就
9、需验N次.(2)按k个人一组进行分组,把从k个人抽来的血混合在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,就说明这k个人的血都呈阴性反应,这样,这k个人只需检验一次.若呈阳性,就对这k个人的血分别进行化验,这样,这k个人的血共化验k+1次.假设每个人化验呈阳性的概率为p,且这些人的化验反应是相互独立的,试说明当p较小时,选取适当的k,按第二种方法可以减少化验的次数.并说明k取什么值时最适宜.19 解解 设q=1-p,若k个人为一组,则每个人化验的次数X的分布律为 X pk k/1k/11kqkq1kqqkqkXEkkk11)1)(11(1)(X的数学期望为 只要选择k,使得 ,则N个人的平均化验次
10、数N E(X)N,从而使化验次数降低.当p固定时,可选择k使得 1/11kqkkqLk11达到最小值,那么以这样的方式分组是最优的.20 例例4.1.9 柯西分布的数学期望不存在柯西分布的数学期望不存在 设随机变量 X 服从柯西分布柯西分布，则其概率密度为 211(),1f xxx 由于 211|d1xxx 故 E(X)不存在.21 4.1.3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 在很多实际问题中，经常遇到求在很多实际问题中，经常遇到求随机变量函数的数学期望问题下随机变量函数的数学期望问题下面两个定理给出了求随机变量函数面两个定理给出了求随机变量函数的数学期望的简便方法利用这二的数学
11、期望的简便方法利用这二个定理可以省略求随机变量函数的个定理可以省略求随机变量函数的分布分布 22 定理定理 4.1.1 设Yg X是随机变量X的一个已知函数（1）如果X是离散型随机变量，且其分布律是,2,1,)(kpxXPkk，则 当 1iiig xp 时，Yg X的数学期望存在，且 1()()iiiE YE g Xg xp（2）如果X是连续型随机变量，且其密度函数是 xf，则当 dg xf xx 时，Yg X的数学期望存在，且 ()()dE YE g Xg x f xx 23 定理定理 4.1.2 设,Zg X Y是二维随机变量YX,的已知函数（1）如果YX,是二维离散型随机变量，联合分布律
12、为ijjipyYxXP,，,2,1,ji,则当11,ijijijg x yp 时，,Zg X Y的数学期望存在，且 11()(,),ijijijE ZE g X Yg x yp （2）如果YX,是二维连续型随机变量，且其联合密度函数是yxf,，则当,d dg x yf x yx y 时，,Zg X Y的数学期望存在，且()(,),d dE ZE g X Yg x y f x yx y 24 例例 4.1.9 设随机变量X的分布律是 X-2 0 1 4 P 0.1 0.4 0.3 0.2 求2()E X 解解 由定理4.1.1，得 22222()20.1 00.4 10.340.23.9E X
13、25 例例 4.1.10 设随机变量1,0UX，求(e)XE 解解 由定理2.2.1，得(e)XE edxfxx10e1de 1xx 26 例例4.1.114.1.11 设某种商品每周的需求量X服从区间10,30上的均匀分布,而经销商进货数为区间10,30中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理一单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每单位仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280,试确定最小的进货量.500()300,30()500()100,10aaXaaXYg XXaXXaaXaXXaaX10,10060030,2003
14、00解解 设进货数为a,则利润为 27 故期望利润为 30101()()()()d()d20aE YEg Xg x f xxg xx而由题意知,X的概率密度为 1,1030()200,xf x其它301011(600100)d(300200)d2020aaxaxxax52503505.72aa28 040303505.72aa263220 a 故利润期望值不少于9280元的最少进货量为21单位 依题意,有 928052503505.72aa2()7.53505250aE Yaa 29 例例 4.1.12 设 X 为非负的连续型随机变量，其分布函数为()F x，且数学期望存在，试证 0()1()
15、dE XF xx 证证 设 X 的概率密度为()f x，则由题意知，当0 x时，()0f x，因此 000()()dd()dxE Xxf xxy f xx0()d dyf xxy01()dF yy30 当(,)g X YX时，由定理 4.1.2 可得()(,)d dE Xxf x yx y 类似的还有()(,)d dE Yyf x yx y 31 例例 4.1.13 设随机变量YX,的联合密度函数为 21201,0yyxf x y其它 求XYE 解解 ,d dE XYxyf x yx y 1200d12dxxxyyy15013d2xx32 例例 4.1.14 设随机变量YX,独立同分布，均服从
16、参数为的指数分布令 YXYYXXZ613 求()E Z 解解 因为YX,相互独立且均服从参数为的指数分布，所以YX,的联合密度函数为 2e0,0(,)0 xyxyf x y其它2()(,)d d(,)d d(,)d dx yx yRE Zzf x yx yzf x yx yzf x yx y33 2()(,)d d(,)d d(,)d dx yx yRE Zzf x yx yzf x yx yzf x yx y0000d(31)(,)dd6(,)dxyxxf x yyyy f x yx2142734 例例4.1.154.1.15 一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间10,20上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了进货量,商店可从其它商店调剂供应,这时每单位商品获利润为200元,试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.解解 设Z表示每周的利润，则 YXYXYXYYXgZ,200800,1000),(而),(YX的联合概率密度 21(,),1020,102010f x yxy 35 因此 2dd
