1、7.6对称问题一、明确复习目标1掌握求曲线的轴对称曲线和中心对称曲线方程的方法.2掌握判断曲线(或曲线间)对称的方法.二建构知识网络1.点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。2.点关于直线的对称点即对称轴为两对称点连线的“垂直平分线“，利用垂直“和平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，方法：设点(x0,y0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x,y)，那么3.曲线关于点中心，直线轴的对称问题的一般思想是用代入转移法。1曲线f(x,y)=0关于
2、点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=02曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P0(x0,y0)，在曲线f(x,y)=0上，由两点关于直线对称的解法，求得x0,y0，代入f(x0,y0)=0，即得对称曲线方程。4、常用的对称关系点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)，关于y轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)关于直线y=x的对称点为(b,a)，关于直线y=-x的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m的对称点(m-
3、b,m-a).三、双基题目练练手1. (2023全国II)圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，那么圆C的方程为 ( )A.(x1)2y21 B.x2y21C.x2(y1)21 D.x2(y1)212.方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线 ( )A.关于x轴对称但不关于y轴对称 B.关于y轴对称但不关于x轴对称C.关于原点对称 D.以上都不对3.(2023全国II)函数yex的图象 ( )A.与yex的图象关于y轴对称B.与yex的图象关于坐标原点对称C.与yex的图象关于y轴对称 D.与yex的图象关于坐标原点对称4曲线x24y24关于点M3，5对称的曲线方程为_.5. 光线
4、从点A-3，4发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B-2，6，求射入y轴后的反射线的方程。6. 直线交x、y轴于A、B两点，试在直线上求一点P，使最小，那么P点的坐标是_ 简答:1-3.CCD；4.x62+4y102=4；5.解：A-3，4关于x轴的对称点-3，-4在经x轴反射的光线上；A1-3，-4关于y轴的对称点3，-4在经过射入y轴的反射的光线上，=所求直线方程为 ，即6.(0,0)四、经典例题做一做【例1】求直线a：2x+y4=0关于直线l：3x+4y1=0对称的直线b的方程.分析：由平面几何知识可知假设直线a、b关于直线l对称，它们具有以下几何性质：1假设a、b相交，那么l
5、是a、b交角的平分线；2假设点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时ABl，并且AB的中点D在l上；3a以l为轴旋转180，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.解得a与l的交点E3，2，E点也在b上.解：由 2x+y4=0，3x+4y1=0， 方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为2，直线l的斜率为.那么=.解得k=.代入点斜式得直线b的方程为y2=x3，即2x+11y+16=0.方法二：在直线a：2x+y4=0上找一
6、点A2，0，设点A关于直线l的对称点B的坐标为x0，y0，由3+41=0，=，解得B，.由两点式得直线b的方程为=，即2x+11y+16=0.方法三：设直线b上的动点Px，y关于l：3x+4y1=0的对称点Qx0，y0，那么有3+41=0，=.解得x0=，y0=.Qx0，y0在直线a：2x+y4=0上，那么2+4=0，化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.方法四：设直线b上的动点Px，y，直线a上的点Qx0，42x0，且P、Q两点关于直线l：3x+4y1=0对称，那么有=，=.消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y4=0舍.提炼方法：1.方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定
7、直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程;2.方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数.【例2】.ABC中点A(3,-1),AB边上的中线为:6x+10y-59=0,B的平分线为:x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.解:设B(a,b),在B的平分线上,那么a-4b+10=0 CAxyOTA/B又AB的中点在CM上,有: 解,得B(0,5).设B平分线交AC于点T. ,由BC的方程为2x+9y-65=0.法2:(1)求B的坐标; (2)求A关于B的平分线对称的点A,写出A的方程即为所求(BC).【例3
8、】点M3，5，在直线：和y轴上各找一点P和Q，使的周长最小。解：可求得点M关于的对称点为5，1，点M关于y轴的对称点为-3，5，那么的周长就是，连，那么直线与y轴及直线的交点P、Q即为所求。直线的方程为，直线与y轴的交点坐标为，由方程组 得交点，点、即为所求。特别提示：注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用。【例4】长方形的四个顶点A0，0、B2，0、C2，1和D0，1，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4入射角等于反射角.设P4的坐标为x4，0.假设1x42，求tan的取值范围.解：设P1B=x，P1P0B=，那么
9、CP1=1x，P1P2C、P3P2D、AP4P3均为，tan=x.又tan=x，CP2=1.而tan=x，DP3=x3=3x1.又tan=x，AP4=3.依题设1AP42，即132，4.tan.【研讨.欣赏】抛物线y=ax21上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为Px1，y1、Qx2，y2，线段PQ的中点为Mx0，y0，设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程ax2x1+b=0. 判别式=1+4a1+b0.由得x0=，y0=x0+b=+b.Ml，0=x0+y0=+b，即b=，代入
10、解得a.解法二：设同解法一，由题意得将代入，并注意到a0，x1x20，得由二元均值不等式易得2x12+x22x1+x22x1x2.将代入上式得2+2，解得a.解法三：同解法二，由，得y1y2=ax1+x2x1x2.x1x20，ax1+x2=1.x0=.Mx0，y0l，y0+x0=0，即y0=x0=，从而PQ的中点M的坐标为，.M在抛物线内部，a210.解得a.舍去a0，为什么五提炼总结以为师1. 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。3.求对称曲线的常用思想方法：代入
11、转移法4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等同步练习 7.6对称问题 【选择题】1.直线l1: x+my+5=0和直线l2:x+ny+P=0，那么l1、l2关于y轴对称的充要条件是( )A、 B、p=-5 C、m=-n且p= -5 D、且p=-52.点Ma，b与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，那么点Q的坐标为 Aa，b Bb，aCa，b Db，a3.方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圆 A、关于x轴对称 B、关于y轴对称C、关于直线x-y=0对称 D、关于直线x+y=0对称【填空题】
12、4.直线关于定点对称的直线方程是_5.直线2xy4=0上有一点P，它与两定点A4，1、B3，4的距离之差最大，那么P点的坐标是_.6如果直线axy+3=0与直线3xyb=0关于直线xy+1=0对称，那么a= , b= 答案提示：13.CBD；4.；5.解：易知A4，1、B3，4在直线l：2xy4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A10，1，当A1、B、P共线时距离之差最大.答案：5，66.答案：1/3, 5说明：掌握k=1时，求对称点的方法【解答题】7.一条光线经过P(2,3)点，射在直线：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1,1)（1） 求入射光线所在的直线方程（2） 求这条光线从P到Q的长
13、度。解：(1)设Q(1,1)关于：x+y+1=0的对称点，易证入射光线所在直线方程，即5x-4y+2=02是的垂直平分线，因而即为所求8. ABC的一个顶点A1，4，B、C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.解：设点A1，4关于直线y+1=0的对称点为Ax1，y1，那么x1=1，y1=214=2，即A1，2.在直线BC上，再设点A1，4关于l2：x+y+1=0的对称点为Ax2，y2，那么有1=1，+1=0.解得 x2=3，y2=0，即A3，0也在直线BC上，由直线方程的两点式得=，即x+2y3=0为边BC所在直线的方程.9. 两点A2，3、B4，1，直线l：x+2y2=0，在直线l上求一点P.1使|PA|+|PB|最小；2使|PA|PB|最大.解：1可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为x1，y1.那么有 +22=0，=1.解得
