1、专题四 立体几何专项训练一、选择题1如图，点E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点，那么过点E且与直线AB、B1C1都相交的直线的条数是A0B1C2D无数条2P是正三棱锥PABC的侧棱PC上一点侧棱端点除外，那么APB的大小满足 A B C D 的平行光线照射，其在水平面上的投影是一个长半轴为5m的椭圆，那么制造这个广告气球至少需要的面料是 A 100m2 B 100 m2 C 100 m2 D100 m2.4正四棱锥的底面边长为x，侧棱长为y，那么的取值范围是 A B C D5.长方体的各顶点都在半径为R的球面上，那么该长方体的最大体积是 ABC D6.在水平横梁上A、B两点各挂
2、长为50cm的细线AM，BN，|AB|=60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行于横梁，木条中点为O，假设木条绕其中点O水平方向旋转，那么木条比原来升高了 A10cmB5cmCD7正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1DA的间隔与点P到点M的间隔的平方差等于1，那么点P的轨迹是 A抛物线 B双曲线 C直线 D以上都不对8如图，已经知道正方体上、下底面中心分别为，将正方体绕直线旋转一周，其中由线段旋转所得图形是 二、填空题9在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，PA=a，AB2PA，ABC
3、60，那么D到平面PBC的间隔为_10设是异面直线，点A、B在上运动，点C、D在上运动，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点. 给出以下命题：四面体ABCD的体积是常数；四边形EFGH的面积是常数；可能与平面AEC都成900；四边形EFGH是菱形.其中正确命题的序号是_.11如图，正四棱锥VABCD的侧棱长与底边长相等，点E是棱VA的中点，点O是底面中心，那么异面直线EO与BC所成的角是_12有一个正四棱锥，它的底面边长和侧棱长均为，如今要用一张正方形的包装纸将它完全包住不能裁剪纸，但能够折叠那么包装纸的最小边长应为_ 三、解答题12cm的正方形铁片，按图将阴影局部裁下，然后用余下
4、的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个四棱锥容器PABCDCDPABCDP1证明：四棱锥PABCD为正四棱锥；2求容器四棱锥PABCD容积的最大值；3在四棱锥PABCD的容积最大值时，如它的顶点都在一个球面上，求这个球的外表积14.直三棱柱中，为棱的中点1求异面直线与所成的角；2求平面与平面所成的角的大小15.四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=求证：PD平面ABCD求异面直线PB与AC所成的角求二面角APBD的大小在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径求四棱锥外接球的半径16.如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，是棱的中点1
5、求证：；2求点到平面的间隔；3求二面角的大小专题四 立体几何专项训练参考答案一、选择题DABB DABD8显然在旋转过程中，线段上任意一点到轴的中点为M，线段的中点为O，那么OM是异面直线和N是线段上任意一点，N在轴上的射影为P，我们只需研究在静止状态下线段MN与PN的函数关系即可.如图，以正方体的中心O为原点建立空间直角坐标系，不失一般性，设点N在线段MC1上.设正方体边长为2，那么由异面直线和所成角为450知，故在RtOPN中，由得：，即与满足双曲线关系，应选D.二、填空题9a; 10; 11;12三、解答题13证明：1由于余下的四个全等的等腰三角形，因而它们的底边相等，即ABBCCDDA
6、，且它们的腰也相等，即PAPBPCPD由ABBCCDDA得，底面ABCD为菱形，因而ABCCDA由PAPBPCPD得，顶点P在平面ABCD上的射影为四边形ABCD的外心，因而ABCCDA180，ABCDPOQ因而ABC90，因而底面ABCD为正方形且顶点P在平面ABCD上的射影为正方形ABCD的外心，即为正方形ABCD的中心，故四棱锥PABCD为正四棱锥2设正四棱锥的高为h，又斜高为h6，那么h(0，6)且底面边长为2，体积V(36h2)hh348h，V4h2484(h2)(h2)，令h0得h2，当h2 时V0，V为增函数，当h2时，V0，V为减函数，因而当h2时，V有极大值，又在(0，6)上
7、V只有一个极大值，因而，这个极大值即为最大值当h2 时，Vmax643如图，设此球的球心为Q，那么Q必在棱锥的高PO上，设球半径为R，那么(R2)2(4)2R2R5，S300p14.解法一：1连结交于点，取中点，连结，那么直线与所成的角确实是异面直线与所成的角设，那么 ， 中，直三棱柱中，那么，异面直线与所成的角为2直三棱柱中，平面 那么又，那么， 因而平面 又平面，平面平面故平面与平面所成的角为900.解法二：1建立如以下列图的空间直角坐标系. 设，那么，因而，异面直线与所成的角为2，. 那么平面 平面平面，故平面与平面所成的角为900.15.解析：1要证PD平面ABCD，只需证PD垂直于平
8、面ABCD内的两条相交线，而所给已经知道量都是数，故可考虑勾股定理的逆定理PD=a，AD=a，PA= PD2+DA2=PA2同理PDA=90即PDDA，PDDCAODC=D PD平面ABCD从图形的特别性，应先考虑PB与AC是否垂直，假设不垂直然后再转化连结BD，ABCD是正方形 BDACPD平面ABCD PDACPDBD=D AC平面PDBPB平面PDB ACPBPB与AC所成的角为90由于AC平面PBD，因而用垂线法作出二面角的平面角设ACBD=O，过A作AEPB于E，连OE AO平面PBD OEPB AEO为二面角 APBD的平面角PD平面ABCD，ADAB PAAB 在RtPDB中，
9、在RtPAB中， 在RtAOE中， AEO=60， 二面角APBD的大小为60R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SD、SP，那么把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R 球的最大半径为四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五的间隔均为半径，只要找出球心的位置即可，在RtPDB中，斜边PB的中点为F，那么PF=FB=FD不要证明FA=FC=FP即可设PB的中点为F,在RtPDB中：FP=FB=FD,在RtPAB中：FA=FP=FB,在RtPBC中：FP=FB=FC,FP=FB=FA=FC=FD,故F为四棱锥外接球的球心,FP为外接球的半径FP=, 四棱锥外接
10、球的半径为【说明】此题主要考察棱锥的性质以及内切外接的相关知识点;“内切和“外接等有关咨询题，首先要弄清几何体之间的互相关系，主要是指特别的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中处理咨询题，例如本例中球内切于四棱锥中时，球与四棱锥的五个面相切，即球心到五个面的间隔相等;求体积或运用体和处理咨询题时，经常使用等积变形，即把一个几何体割补成其它几个几何体的和或差. 4立体几何的推理必须做到言必有据，论证紧密.16.解析：此题考察多面体中的线面关系，求二面角，求点到平面的间隔：考察多面体中的线面关系，求点到平面的间隔、二面角.证明：连接，是正方形，又，平面，又，平面，2解：在平面中，过点
11、作，垂足为，连接，又过点作，垂足为，那么为点到平面的间隔，在中，有，在中，点到平面的间隔为解法2：用等体积法，设点到平面的间隔为， 在中，为直角三角形，由得， ，点到平面的间隔为3解：取线段的中点，连接，那么，再取线段的中点，连接，是二面角的平面角，在中， ，取线段的中点，连接，那么，在中，由余弦定理知，二面角的大小为空间向量解法：1证明：用基向量法 设，即， 2解：构建空间直角坐标系，运用向量的坐标运算以为原点，所在直线分别为轴，建立如以下列图的空间直角系那么，设平面的一个法向量为， ，令，那么，得，求点到平面的间隔3解：设平面的一个法向量为 ， ，令，那么，得又设平面的一个法向量为， ，令，那么，得，二面角的大小为或者，的中点的坐标为， ，二面角的大小为
