1、第 41 卷第 12 期大学物理Vol41 No122022 年 12 月COLLEGEPHYSICSDec 2022收稿日期:20220119;修回日期:20220414作者简介:秦绪明(1981)，男，吉林辉南人，安阳师范学院物理与电气工程学院讲师，博士，主要从事物理教学和材料计算研究工作轨道角动量算符与矢量算符及标量算符对易关系的严格证明秦绪明1，康东彪1，2，郝红军1，赵冬秋1，张希威1(1 安阳师范学院 物理与电气工程学院，河南 安阳455000;2 浙江广厦建设职业技术大学 智能制造学院，浙江 金华322100)摘要:本文利用矢量算符和标量算符在空间发生旋转时的变换特性，证明了轨道
2、角动量算符与矢量算符及标量算符的对易关系，并构造了几个具体的标量算符和矢量算符，对此对易关系进行验证 最后还讨论了矢量算符和标量算符的定义关键词:角动量算符;矢量算符;标量算符;对易关系中图分类号:O 41文献标识码:A文章编号:1000-0712(2022)12-0012-05【DOI】1016854/jcnki1000-0712220022两个力学量算符之间的对易关系决定了这两个力学量能否同时取确定值，以及它们不确定度之间的关系，因此计算对易关系是量子力学的重要课题之一1 角动量算符是量子力学中的一个重要算符2，人们经常要计算角动量算符与其它算符之间的对易关系 杨秀德等人3 对常见的坐标算
3、符、动量算符、角动量算符与角动量算符之间的对易关系进行了计算，并由此总结出了角动量算符与矢量算符的一个普遍的对易关系 该对易关系是十分重要的，但通常的教材中并没有给出严格的证明 由于角动量算符与空间旋转有关，本文利用矢量算符的旋转特性，严格的证明了角动量算符与矢量算符的对易关系;同时，也论证了角动量算符与标量算符的对易关系;然后，我们列举了几个矢量算符和标量算符，验证了它们与角动量算符的对易关系;最后，我们讨论了矢量算符和标量算符的定义问题 本工作有益于深入理解角动量算符、矢量算符和标量算符本文只讨论轨道角动量算符，所提角动量算符皆指轨道角动量算符1空间旋转下矢量算符和标量算符的性质11矢量算
4、符在空间旋转下的性质设 为任意波函数，这里用图 1(a)中的锥形图展示设 A为一矢量算符，e为一单位矢量，则算符 A沿 e方向的投影 A为A=eA(1)假设 A作用到波函数 上得，即=A(2)如果 A是梯度算符，则 A表示沿 e方向求方向导数，所以 就是由对 沿 e方向求方向导数得到还可以用另一种方式获得:以另外一单位矢量 e为轴，对 逆时针旋转 角，得到波函数，如图 1(b)中的锥形图所示，同时，e被旋转成了e，即=()(3)()e=e(4)其中，()为作用在波函数上的旋转算符，()表示相应的旋转操作图 1空间旋转下矢量算符的性质示意图利用 A沿 e方向的投影算符 A作用到 得=(eA)=A
5、=A()(5)最后，将 顺时针旋转 角就可得=1()=1()A()(6)其中 1()是()的逆算符，表示将波函数顺时针旋转 角在式(5)中，要注意应该用 A作用，而不能第 12 期秦绪明，等:轨道角动量算符与矢量算符及标量算符对易关系的严格证明13还用 A作用在 上(因为 e被旋转成了 e)比如当 A为梯度算符时，在图 1(a)中 P 位置对 沿 e方向求方向导数应该等于在图 1(b)中相应位置 P对 沿 e方向求方向导数根据式(2)和式(6)，再由 是任意波函数，可得A=1()A()(7)式(7)给出了矢量算符在空间旋转变换下的性质在给出矢量算符的确切定义之前，无法从逻辑上证明上述论述的正确
6、性 主要是式(5)到式(6)的正确性，从而最终得到式(7)但是上述论述符合我们对矢量算符的直观理解，所以这里把式(7)作为矢量算符的定义:当一个算符 A作用到波函数上时得到一个矢量函数，并且算符 A沿空间任意方向的投影在空间绕任意方向的旋转轴发生旋转时满足式(7)，则算符 A称作矢量算符后面我们将继续讨论矢量算符的定义问题12标量算符在空间旋转下的性质设 B为一标量算符，与矢量算符类似，可做如下的讨论 设 为任意波函数，假设 B作用其上得，即=B(8)与前面矢量算符的情况类似，还可以以另外一种方式获得:以单位矢量 e为轴，对 逆时针旋转 角，得到波函数，如图 1(b)中的锥形图所示，满足式(3
7、)再利用标量算符 B作用到，得到，即=B=B()(9)最后，将 顺时针旋转 角就可得=1()=1()B()(10)由于 B是一个标量算符，所以式(9)中直接用 B作用到 就可以了，而不必像矢量算符那样，需要考虑矢量算符的投影方向发生了改变比较式(8)和式(10)可得B=1()B()(11)式(11)给出了标量算符在空间旋转下的性质同样，在给出标量算符的确切定义之前，无法从逻辑上得出上述论述的正确性 主要是式(9)到式(10)的正确性，从而最终得到式(11)但是上述的讨论同样符合我们对标量算符的直观理解所以这里把式(11)作为标量算符的定义:当一个算符 B作用到波函数上时得到一个标量函数，并且算
8、符 B在空间绕任意方向的旋转轴发生旋转时满足式(11)，则算符 B称作标量算符后面我们将继续讨论标量算符的定义问题2角动量算符与矢量算符和标量算符的对易关系21角动量算符与矢量算符的对易关系先由式(7)推导角动量算符与矢量算符的对易关系 假设空间以 e为轴逆时针旋转无穷小角度，则 e变为 e，即e=e+ee(12)所以A=eA=(e+ee)A=A+(ee)A(13)下面推导对于此空间旋转，旋转算符()的表达式 设(r，)为以 e为 z 轴的球坐标下的波函数的表达式，则()(r，)=(r，)=1()=1iL()=1ieL()(14)由于(r，)是任意波函数，所以()=1ieL=1iL(15)相应
9、地，对于顺时针旋转算符将上面的 改变符号就可以了 式(14)和式(15)的推导可以从通常的量子力学的教材中找到，比如曾谨言先生的量子力学教程 中就有类似的推导4 把式(13)和式(15)代入式(7)得A=1+iL()A+(ee)A 1iL()(16)整理并忽略 的高阶无穷小可得 L，A=i(ee)A(17)式(17)给出了角动量算符与矢量算符的一般的对易关系 由此对易关系可以给出在直角坐标系下，角动量算符各分量与矢量算符各分量的对易关系比如令 e为 z 轴方向的单位矢量，e为 x 轴方向的14大学物理第 41 卷单位矢量，则式(17)变为 Lz，Ax=iAy(18)对于角动量算符各分量与矢量算
10、符各分量的对易关系的一般表达式可以写为 L，A=iA(19)其中，、和 表示直角坐标系中的 3 个分量 x、y和 z，为三阶反对称单位张量符号 这样，杨秀德等人3通过归纳得到的式(19)，这里通过严格的论证得到了，它给出了角动量算符与任意矢量算符的对易关系22角动量算符与标量算符的对易关系下面由式(11)推导角动量算符与标量算符的对易关系 这里仍然假设空间以 e为轴逆时针旋转无穷小角度，则把式(15)代入式(11)得B=1+iL()B1iL()(20)整理后得 L，B=0(21)式(21)给出了角动量算符与标量算符的一般的对易关系，即角动量算符向着任意方向的投影都与标量算符对易 由式(21)可
11、以给出在直角坐标系下，角动量各分量算符与标量算符的对易关系 L，B=0，(=x，y，z)(22)所以，杨秀德等人3 通过归纳得到的式(22)，这里通过严格的论证也得到了，它给出了角动量算符与任意标量算符的对易关系3角动量算符与标量算符和矢量算符对易关系的验证下面对角动量算符与标量算符和矢量算符的对易关系进行验证 杨秀德等人3 已经把比较常见的标量算符(像动量的平方算符、坐标的平方算符)和矢量算符(像坐标算符、动量算符和角动量算符)与角动量算符的对易关系进行了验证，是符合式(22)和式(19)的 下面再构造几个标量算符和矢量算符进行验证定义标量算符 B1、B2和 B3:B1=rp=xpx+ypy
12、+zpz(23)B2=Lr=Lxx+Lyy+Lzz(24)B3=Lp=Lxpx+Lypy+Lzpz(25)不难验证这 3 个算符都与角动量算符的所有分量对易，满足式(22)定义矢量算符 A1和 A2:A1=rL(26)A2=pL(27)容易验证，矢量算符 A1和 A2都满足式(19)4标量算符和矢量算符定义的讨论41从空间旋转不变的角度定义矢量和标量算符本部分我们从式(7)和式(11)继续讨论矢量算符和标量算符的定义 空间旋转可以看成是对体系做了一个幺正变换当空间顺时针旋转 角时，其对应的幺正变换算符是 1()，在此变换下，任意波函数 都变为了=1();相应对算符也要做幺正变换，其对任意算符
13、F变换是F1()F()(28)所以，式(7)的右端就是对算符 A做了一个幺正变换，相当于空间发生顺时针旋转之后，A相应的变成了 1()A()，而左端是算符 A没有做幺正变换时沿 e方向的投影右端等于左端，相当于是说:算符 A沿 e的投影 A在空间做顺时针旋转之后，该算符做相应的变换后与变换前的算符 A沿 e方向的投影 A相等或者更简单的说成:A做相应的旋转之后与 A相等这可以进一步理解成算符 A是空间各向同性的，而式(7)是这种说法的确切含义 式(7)是从算符投影的角度展示算符的空间各向同性，也可以直接从矢量算符本身来展示其空间各向同性，即A=1()A()(29)式(29)右端是空间旋转对算符
14、 A的变换，它与左端A本身相等，反映了 A是对空间旋转不变的下面证明式(7)与式(29)是等价的首先由式(29)导出式(7)式(29)的两端同时点乘 e，得eA=A=e1()A()=1()()e A()=1()(eA)()=1()A()(30)这样就得到了式(7)第 12 期秦绪明，等:轨道角动量算符与矢量算符及标量算符对易关系的严格证明15下面由式(7)导出式(29)对于任意矢量算符A，可在直角坐标系下做展开:A=iAx+jAy+kAz(31)空间做顺时针旋转后，A变为1()A()=1()(iAx+jAy+kAz)()(32)其中1()(iAx)()=1()i 1()Ax()=i1()Ax(
15、)=iAx=i(iA)(33)其中，i表示将空间旋转后，i 转成了 i，第 3 个等号是根据式(7)得到 式(32)的其它几项也可以做类似的推导，所以1()A()=i(iA)+j(jA)+k(kA)=A(34)得到了式(29)现在，我们可以对矢量算符的定义用文字表述为:当一个算符作用到一个波函数上得到一个矢量函数，并且该算符是空间各向同性的，则该算符称作矢量算符 式(7)或式(29)是空间各向同性的具体含义类似地，前面关于标量算符的定义式(11)的右端 1()B()是空间旋转对算符 B的变换，它等于 B本身，也是要求 B具有空间旋转不变性所以标量算符的定义可以用文字表述为:当一个算符作用到一个
16、波函数上得到一个标量函数，并且该算符是空间各向同性的，则该算符称作标量算符式(11)是空间各向同性的具体含义根据上面矢量算符定义，不是所有作用到波函数上得到矢量函数的算符都是矢量算符，比如下面的算符 F:F=i(2px)+jpy+kpz(35)由于 F不满足空间各向同性，所以 F不是矢量算符同样，根据标量算符的定义，不是所有作用到波函数上得到标量函数的算符都是标量算符 比如，对于势能算符 V(r)，当是球对称势时是标量算符，而不是球对称势时就不是标量算符 动量算符、坐标算符具有空间各向同性，所以都是矢量算符，而它们的点乘和叉乘也都具有空间各向同性，分别是标量算符和矢量算符42从与角动量算符的对易关系来定义矢量算符和标量算符本文把式(7)和式(11)分别作为矢量算符和标量算符的定义，然后据此推导出了角动量算符和矢量算符的对易关系即式(19)，和角动量算符与标量算符的对易关系即式(22)其实也可以反过来，把式(19)和式(22)分别作为矢量算符和标量算符的定义 这是因为式(7)和式(19)是等价的，式(11)和式(22)是等价的下面我们对此进行证明 由于有限的空间旋转可以由连续进行无穷小空
