1、概率论与数理统计概率论与数理统计 1 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 2 现实世界中存在的两类现象现实世界中存在的两类现象 一一.确定性现象确定性现象 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.“太阳每天从东边升起”“太阳每天从东边升起”,“同性电荷必然互斥”。“同性电荷必然互斥”。“水从高处流向低处”“水从高处流向低处”,引引 言言 3 二二.不确定性现象或随机现象不确定性现象或随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为称为随机现象随机现象.实例实例1 1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在
2、相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况正反两面出现的情况.结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.这类现象的特点是,即使在相同的条件下在相同的条件下,每次试验每次试验所得的结果也会不相同所得的结果也会不相同,或者已知它过去的状态已知它过去的状态,它将它将来的发展状态仍然无法确定来的发展状态仍然无法确定.4 结果有可能为结果有可能为:1,2,3,4,5,6.实例实例3 3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数.实例实例2 2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发,观察弹落点的情况观察弹落点的情
3、况.结果结果:弹落点会各不相同弹落点会各不相同.试验结果的不确定性试验结果的不确定性 5 实例实例4 4 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可能为其结果可能为:正品正品 、次品次品.实例实例5 5 过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通 指挥灯指挥灯.6 未来的不确定性未来的不确定性 实例实例7 7 刘翔还能破世刘翔还能破世界纪录吗？界纪录吗？实例实例6 6 明天的天气明天的天气可能是可能是晴晴,也可能是也可能是多多云云或或雨雨.7 主观的不确定性主观的不确定性 有些事情即使已经发生了，但是在你知
4、道有些事情即使已经发生了，但是在你知道结果之前，它们仍然具有不确定性。这种不结果之前，它们仍然具有不确定性。这种不确定性我们称之为主观不确定性。确定性我们称之为主观不确定性。实例实例8 8 硬币落地后虽然结果已经确定,但是在观察之前你还是无法确定硬币是正面还是反面朝上。实例实例9 9 病人得的病虽然已经是客观存在的事实,但是在确诊之前,在医生看来病人得的是什么病仍然有多种可能。主观不确定性融入了观察者个人的信念主观不确定性融入了观察者个人的信念.8 实验者 n nH fn(H)德.摩根 2048 1061 0.5181 蒲 丰 4040 2048 0.5069 K.皮尔逊 12000 6019
5、 0.5016 K.皮尔逊 24000 12012 0.5005 维 尼 30000 14994 0.4998 n:抛掷硬币的次数;nH:正面朝上的次数；nnHfHn/)(著名的抛硬币试验著名的抛硬币试验()nfH的增大的增大n.219 2.2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶偶然性然性,但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中,这种结果的出现这种结果的出现具有一定的具有一定的统计规律性统计规律性,概率论就是研究随机现概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科象这种本质规律的一门数学学科.1.1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性随机现象揭示
6、了条件和结果之间的非确定性联系联系,其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.两点说明两点说明 10 1.1 基本概念基本概念 1.1.1 随机试验与事件随机试验与事件 如果一个试验具有如下的共同特点:(1)可在相同的条件下重复进行重复进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,但是能事先事先明确明确试验的所有可能的结果;(3)试验之前不能确定不能确定哪一个结果会出现.则称满足该试验为随机试验随机试验.简称为试验.11 定义定义1.1.1 随机试验随机试验E的所有可的所有可能结果组成的集合称为能结果组成的集合称为E的的样本样本空间空间,记为记为S=,S的元素的元素,即即E的一个可能
7、的的一个可能的结果结果,称为称为样本点样本点或或基本事件基本事件.12 E1:抛一枚硬币,观察正面H反面T的出现情况;E2:抛一枚硬币两次,观察正面H反面T的出现情况;E3:抛一枚硬币三次,观察正面H反面T的出现情况;E4:掷一颗骰子,观察出现的点数;E5:在家电仓库里随机地抽取一台电视机,测试它的寿命;E6:记录某一天城市发生车祸的次数.随机试验的例子随机试验的例子 13 相应的样本空间相应的样本空间 1,SH T2,SHH HT TH TT3,SHHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT41,2,3,4,5,6S 5:0St t60,1,2,3,S 14 2.同一试验同
8、一试验,若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样本空则对应的样本空 间间也不同也不同.例如例如 对于同一试验对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面若观察正面 H、反面、反面 T 出现的情况出现的情况,则样本空间为则样本空间为 若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数,则样本空间为则样本空间为 70,1,2,3.S 3,.SHHH HHT HTH THHHTT TTH THT TTT1.试验不同试验不同,对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同.几点说明几点说明 15 3.建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学事实上就是建立随机现象的数学模型模型.因此
9、因此,一个样本空间可以概括许多内容大不一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题相同的实际问题.例如例如 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间 它既可以作为抛掷硬币出现它既可以作为抛掷硬币出现正面正面或出现或出现反面反面的模的模型型,也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与不合格不合格的模型的模型,又能用于排队现象中又能用于排队现象中有人排队有人排队与与无人排队无人排队的模型等的模型等.,SH T16 在具体问题的研究中在具体问题的研究中 ,描述随机现象的第一步描述随机现象的第一步 就是建立样本空间就是建立样本空间.集合这一概念为我们搭建了从随机现象集合这一概念
10、为我们搭建了从随机现象到数学的一座桥梁。到数学的一座桥梁。17 随机事件随机事件 把样本空间的某个子集(具有某种特征的样本点组成的子集)称为“随机事件随机事件”,简称为“事件事件”.以E5为例,如果电视机的寿命超过10000个小时被认为是合格品,则“所抽取的电视机是合格品所抽取的电视机是合格品”这一事件可以用S5的子集A=t:t 10000来表示.例2中,“至少出现一次正面至少出现一次正面”这一事件可以表示成:HHTHHTB,一般地,我们用英文字母表中前面的大写字母(可以带下标)表示事件,如用 A,B,C,A1,B3,D17等.18 设A为随机事件,如果试验的结果如果试验的结果属于属于A,则称
11、事件则称事件A发生发生.即 试验的结果 A事件A发生 样本空间有两个特殊的子集,一个是S本身,由于它包含了所有可能的结果,所以在每次试验中它总是发生的,我们将其称为必然事件必然事件;另一个子集是空集,它不包含任何元素,因此在每次试验中都不发生,我们将其称为不可能事件不可能事件.19 1.1.2 1.1.2 事件间的关系与运算事件间的关系与运算 由于事件是样本空间的一个子集,因此本节所涉及到的事件之间的关系与运算就是集合间的关系与运事件之间的关系与运算就是集合间的关系与运算算,但是事件之间的关系与运算需要一套特别的语言来描述,并且熟悉这种特别的语言对本章及以后的学习起着非常重要的作用.这一部分的
12、重点就是能正确地将集合论中的符号翻译成概率论的语言.20 1)1)符号符号:BA集合论中的含义集合论中的含义:若 A,则B 概率论中的含义概率论中的含义:若A发生,则B发生.这时我们称事件事件B包含了事件包含了事件A.若 同时 ,则称A与B相等相等,记为A=B.BAABS B A 21 2)2)符号符号:AB集合论中的含义集合论中的含义:ABA或B 概率论中的含义概率论中的含义:事件 发生 AB事件A发生或事件B发生 事件A与事件B至少有一个发生 将AB称为BA,的和事件和事件,它表示“BA与至少有一个发生”.这一新事件.S B A BA22 将“nkkA1”称为 n 个事件事件 A1,A2,
13、An的的和和事件事件,它表示“A1,A2,An至少有一个发生至少有一个发生”这一事件；将“1kkA”称为可列个事件可列个事件 A1,A2,An的的和事件和事件,它表示“A1,A2,An至少有一个发生至少有一个发生”这一事件.进一步推广进一步推广 23 3)3)符号符号:或或 AB AB集合论中的含义集合论中的含义:AB概率论中的含义概率论中的含义:事件 发生 ABA发生且B发生 A且B BA,同时发生.将AB或AB称为BA,的积事件积事件,它表示“事件事件 A与与 B 同时发生同时发生”这一事件.S A B AB 24 进一步推广进一步推广 称nkkA1为 n 个事件事件 A1,A2,An的积
14、事件的积事件，它表示“A1,A2,An同时发生同时发生”这一事件；称1kkA为可列个事件可列个事件 A1,A2,An的积事件的积事件，它“表示表示 A1,A2,An同时发生同时发生”这一事件.25 例例1.1.11.1.1 设有n座桥梁如下图所示串联而成 1 2 n L R 用A表示事件“L至R是通路”，Ai表示“第i座桥梁是畅通的”(i=1,2,n),则有 niiAA126 如果这n座桥梁如下图所示是并联而成的，1 2 n L R 则有 niiAA127 4)4)符号符号:BA集合论中的含义集合论中的含义:AB概率论中的含义概率论中的含义:BA发生A发生但B不发生.A且B 称BA为 A 与
15、B 的差事件差事件,它表示“事件事件A A发发生而事件生而事件B B不发生不发生”这一新事件.S A B BA S A B BA ABAAB28 5)5)符号符号:BA或或 AB集合论中的含义集合论中的含义:概率论中的含义概率论中的含义:BA与不相交即没有公共部分 ABBA与同时发生是不可能的 AB一般地，如果AB，我们就称事件BA与互不互不相容相容或互斥互斥,它表示事件事件 A 与与 B 不可能同时发生不可能同时发生。S A B 29 6)6)符号符号:AB 集合论中的含义集合论中的含义:B是A的补集补集,即有 ABS且 AB 概率论中的含义概率论中的含义:事件A与B有且只有一个发生.称 为
16、事件A的逆事件逆事件或对立事件对立事件 AB S B A A AASS 有以下公式成立 ABAB30 7）事件的运算规律）事件的运算规律 交换律：交换律：,ABBAABBA 结合律结合律：()()ABCABC()()ABCABC 分配律：分配律：()()()ABCABAC()()()ABCABAC 德德.摩根律：摩根律：ABABABAB11nnnnAA11nnnnAA31 例例1.1.21.1.2 设A,B,C为三个事件,则 1)事件A与B发生而C不发生可以表示为 CAB2)A,B,C至少有两个发生可以表示为 ABACBC3)A,B,C恰好发生两个可以表示为 ABCABCABC4)A,B,C中有不多于一个发生可以表示为 ABCABCABCABC32 例例1.1.31.1.3 如图所示的系统中,设A,B,C分别表示元件a,b,c能正常工作的,D为整个系统能正常工作,则有 DACABa b c 该例表明,在实际问题中,事件之间相互关系的确定有时不必直接借助于集合,而只须从概率论本身的含义出发即可.33 1.2 1.2 频率与概率频率与概率 研究随机现象不仅要知道可能出现哪些事件,还要知道各
