1、宫 召 华 基础部数学教研室基础部数学教研室 第第14章章 综合评价与决策方法综合评价与决策方法 基础部数学教研室基础部数学教研室 3/116 数学数学建模建模 评价方法大体上可分为两类，其主要区别在确定评价方法大体上可分为两类，其主要区别在确定权重的方法上。一类是主观赋权法，多数采取综合咨权重的方法上。一类是主观赋权法，多数采取综合咨询评分确定权重，如综合指数法、模糊综合评判法、询评分确定权重，如综合指数法、模糊综合评判法、层次分析法、功效系数法等。另一类是客观赋权，根层次分析法、功效系数法等。另一类是客观赋权，根据各指标间相关关系或各指标值变异程度来确定权据各指标间相关关系或各指标值变异程
2、度来确定权数，如主成分分析法、因子分析法、理想解法（也称数，如主成分分析法、因子分析法、理想解法（也称TOPSIS 法）等。法）等。基础部数学教研室基础部数学教研室 4/116 数学数学建模建模 目前国内外综合评价方法有数十种之多，其中主要目前国内外综合评价方法有数十种之多，其中主要使用的评价方法有主成分分析法、因子分析、使用的评价方法有主成分分析法、因子分析、TOPSIS、秩和比法、灰色关联法、熵权法、层次分析法、模糊评秩和比法、灰色关联法、熵权法、层次分析法、模糊评价法、物元分析法、聚类分析法、价值价法、物元分析法、聚类分析法、价值工程法、神经网工程法、神经网络法等。络法等。基础部数学教研
3、室基础部数学教研室 5/116 数学数学建模建模 目前已有许多解决多属性决策的排序法，如理想点目前已有许多解决多属性决策的排序法，如理想点法、简单线性加权法、加权平方和法、主成分分析法、法、简单线性加权法、加权平方和法、主成分分析法、功效系数法、可能满意度法、交叉增援矩阵法等。本节功效系数法、可能满意度法、交叉增援矩阵法等。本节介绍多属性决策问题的理想解法，理想解法亦称为介绍多属性决策问题的理想解法，理想解法亦称为TOPSIS 法，法，是一种有效的多指标评价方法是一种有效的多指标评价方法。这种方法。这种方法通过通过构造评价问题的正理想解和负理想解构造评价问题的正理想解和负理想解，即各指标的，即
4、各指标的最优解和最劣解，最优解和最劣解，通过计算每个方案到理想方案的相对通过计算每个方案到理想方案的相对贴近度，即靠近正理想解和远离负理想解的程度，来对贴近度，即靠近正理想解和远离负理想解的程度，来对方案进行排序，从而选出最优方案方案进行排序，从而选出最优方案。14.1 理想解法理想解法 基础部数学教研室基础部数学教研室 6/116 数学数学建模建模 设多属性决策方案集为设多属性决策方案集为12,mDd dd，衡量方案，衡量方案优劣的属性优劣的属性变变量为量为1,nxx，这时方案集，这时方案集D中的每个方案中的每个方案id（1,im）的）的n个属性值构成的向量是个属性值构成的向量是1,iina
5、a，它作为它作为n维空间中的一个点，能唯一地表征方案维空间中的一个点，能唯一地表征方案id。14.1.1 方法和原理方法和原理 基础部数学教研室基础部数学教研室 7/116 数学数学建模建模 正理想解正理想解*C是一个方案集是一个方案集D中并不存在的虚拟的最中并不存在的虚拟的最佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好值；而负理想解值；而负理想解0C则是虚拟的最差方案，它的每个属性则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最差值。值都是决策矩阵中该属性的最差值。在在n维空间中，将维空间中，将方案集方案集D中的各备选方案中的各备
6、选方案id与正理想解与正理想解*C和负理想解和负理想解0C的距离进行比较，既靠近正理想解又远离负理想解的方的距离进行比较，既靠近正理想解又远离负理想解的方案就是方案集案就是方案集D中的最佳方案；并可以据此排定方案集中的最佳方案；并可以据此排定方案集D中各备选方案的优先序。中各备选方案的优先序。基础部数学教研室基础部数学教研室 8/116 数学数学建模建模 用理想解法求解多属性决策问题的概念简单，只要用理想解法求解多属性决策问题的概念简单，只要在属性空间定义适当的距离测度就能计算备选方案与理在属性空间定义适当的距离测度就能计算备选方案与理想解的距离。想解的距离。TOPSIS 法所用的是欧氏距离。
7、至于既用正法所用的是欧氏距离。至于既用正理想解又用负理想解是因为在仅仅使用正理想解时有时理想解又用负理想解是因为在仅仅使用正理想解时有时会出现某两个备选方案与正理想解的距离相同的情况，会出现某两个备选方案与正理想解的距离相同的情况，为了区分这两个方案的优劣，引入负理想解并计算这两为了区分这两个方案的优劣，引入负理想解并计算这两个方案与负理想解的距离，与正理想解的距离相同的方个方案与负理想解的距离，与正理想解的距离相同的方案离负理想解远者为优。案离负理想解远者为优。基础部数学教研室基础部数学教研室 9/116 数学数学建模建模 TOPSIS 法的具体算法如下法的具体算法如下（1）用）用向量规划化
8、的方法向量规划化的方法求得规范决策矩阵求得规范决策矩阵 设多属性决策问题的决策矩阵设多属性决策问题的决策矩阵()ijm nAa ，规范化，规范化决策矩阵决策矩阵()ijm nBb ，其中，其中 21mijijijibaa ，1,2,im，1,2,jn.（14.1）14.1.2 TOPSIS法的算法步骤法的算法步骤 基础部数学教研室基础部数学教研室 10/116 数学数学建模建模 （2）构）构造造加权规范阵加权规范阵()ijm nCc 设 由 决 策 人 给 定 各 属 性 的 权 重 向 量 为设 由 决 策 人 给 定 各 属 性 的 权 重 向 量 为12,Tnww ww，则，则 ijji
9、jcwb，1,2,im，1,2,jn.（14.2）基础部数学教研室基础部数学教研室 11/116 数学数学建模建模 （3）确定正理想解确定正理想解*C和负理想解和负理想解0C 设正理想解设正理想解*C的第的第j个属性个属性值为值为*jc，负理想解，负理想解0C第第j个个属性值为属性值为0jc，则，则 正理想解正理想解*max,min,ijijijicjccj 为为效效益益型型属属性性为为成成本本型型属属性性1,2,jn.（14.3）负理想解负理想解 0min,max,ijijijicjccj 为为效效益益型型属属性性为为成成本本型型属属性性1,2,jn.（14.4）基础部数学教研室基础部数学教
10、研室 12/116 数学数学建模建模 （4）计算各方案到正理想解与负理想解的距离计算各方案到正理想解与负理想解的距离 备选方案备选方案id到正理想解的距离为到正理想解的距离为 *21()niijjjscc ，1,2,im.（14.5）备选方案备选方案id到负理想解的距离为到负理想解的距离为 0021()niijjjscc ，1,2,im.（14.6）基础部数学教研室基础部数学教研室 13/116 数学数学建模建模 （5）计算各方案的）计算各方案的排序排序指标值（即综合评价指数）指标值（即综合评价指数）*00*/()iiiifsss，1,2,im.（14.7）（6）按）按*if由大到小排列方案的
11、优劣次序。由大到小排列方案的优劣次序。基础部数学教研室基础部数学教研室 14/116 数学数学建模建模 例例 14.1 研究生院试评估。研究生院试评估。为了客观地评价我国研究生教育的实际为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研状况和各研究生院的教学质量，国务院学位委员会办公室组织过究生院的教学质量，国务院学位委员会办公室组织过一次研究生院的评估。为了取得经验，先选一次研究生院的评估。为了取得经验，先选 5 所研究所研究生院，收集有关数据资料进行了试评估，表生院，收集有关数据资料进行了试评估，表 14.1 是所是所给出的部分数据。给出的部分数据。14.1.3 示例示例 基础部数学教研室基础部
12、数学教研室 15/116 数学数学建模建模 表表 14.1 研究生院试评估的部分数据研究生院试评估的部分数据 j i 人均专著人均专著1x（本（本/人）人）生师生师比比2x 科研经费科研经费3x（万元（万元/年）年）逾期毕业率逾期毕业率4x（%）1 0.1 5 5000 4.7 2 0.2 6 6000 5.6 3 0.4 7 7000 6.7 4 0.9 10 10000 2.3 5 1.2 2 400 1.8 基础部数学教研室基础部数学教研室 16/116 数学数学建模建模 解解 第一步，数据预处理第一步，数据预处理 数据的预处理又称属性值的规范化。数据的预处理又称属性值的规范化。属性值具
13、有多种类型，包括效益型、成本型和区间属性值具有多种类型，包括效益型、成本型和区间型等。这三种属性，型等。这三种属性，效益型属性越大越好，成本型属性效益型属性越大越好，成本型属性越小越好，区间型属性是在某个区间最佳越小越好，区间型属性是在某个区间最佳。基础部数学教研室基础部数学教研室 17/116 数学数学建模建模 在进行决策时，一般要进行属性值的规范化，主在进行决策时，一般要进行属性值的规范化，主要有如下三个作用：（要有如下三个作用：（1）属性值有多种类型属性值有多种类型，上述三上述三种属性放在同一个表中不便于直接从数值大小判断方种属性放在同一个表中不便于直接从数值大小判断方案的优劣，因此需要
14、对数据进行预处理，使得表中任案的优劣，因此需要对数据进行预处理，使得表中任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。基础部数学教研室基础部数学教研室 18/116 数学数学建模建模 （2）非量纲化，多属性决策与评估的困难之一是）非量纲化，多属性决策与评估的困难之一是属性属性间的不可公度性间的不可公度性，即在属性值表中的每一列数具有不同的，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位（量纲）。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表单位（量纲）。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不同。在用各种多属性决策方法进行分析评中的数值也就不同。在用各种多属性
15、决策方法进行分析评价时，价时，需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响，这需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响，这就是非量纲化。就是非量纲化。基础部数学教研室基础部数学教研室 19/116 数学数学建模建模 （3）归一化归一化，属性值表中不同指标的属性值的数值属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，为了直观大小差别很大，为了直观，更为了便于采用各种多属性，更为了便于采用各种多属性决策与评估方法进行评价，需要把属性值表中的数值归决策与评估方法进行评价，需要把属性值表中的数值归一化，即把一化，即把表中数值均变换到表中数值均变换到0，1区间上区间上。此外，还可在属性规范时用非线形变换或其它
16、办此外，还可在属性规范时用非线形变换或其它办法，来解决或部分解决某些目标的达到程度与属性值之法，来解决或部分解决某些目标的达到程度与属性值之间的非线性关系，以及目标间的不完全补偿性。间的非线性关系，以及目标间的不完全补偿性。基础部数学教研室基础部数学教研室 20/116 数学数学建模建模 常用的属性规范化方法有以下几种。常用的属性规范化方法有以下几种。（1）线性变换线性变换 原始的决策矩阵为原始的决策矩阵为()ijm nAa ，变换后的决策矩阵，变换后的决策矩阵记为记为()ijm nBb ，1,im，1,jn。设。设maxja是决是决策矩阵第策矩阵第j列中的最大值，列中的最大值，minja是决策矩阵第是决策矩阵第j列中的列中的最小值。若最小值。若jx为效益型属性，则为效益型属性，则 max/ijijjbaa.（14.8）基础部数学教研室基础部数学教研室 21/116 数学数学建模建模 采用上式进行属性规范化时，经过变换的最差属性值采用上式进行属性规范化时，经过变换的最差属性值不一定为不一定为 0，最佳属性值为，最佳属性值为 1。若若jx为成本型属性，则为成本型属性，则 max1/iji
