1、反函数时间：45分钟分值：100分一、选择题(每题5分，共30分)1设函数f(x)log2x3，x1，)，那么f1(x)的定义域是()A(0,1) B1，)C3，) DR解析：由x1，得log2x0，ylog2x33，反函数的定义域就是原函数的值域，f1(x)的定义域为3，)答案：C2函数f(x)2x1的反函数的图象大致是()解析：由y2x1得x1log2y，xlog2y1(y0)，即函数f(x)2x1的反函数是f1(x)log2x1(x0)，注意到函数f1(x)在(0，)上是增函数，结合各选项知，选A.答案：A3函数yln，x(1，)的反函数为()Ay，x(0，)By，x(0，)Cy，x(，
2、0)Dy，x(，0)解析：由yln得x，x1，1，0，ey1，y0，因此yln的反函数为y，x(0，) 答案：B4假设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，x0，f(x)f(x)3x，令f(x)，可解得x2，即f1()2.答案：B5(2023湖北八校联考)函数f(x)(exex2)(x1)(其中e是自然对数的底数)的反函数为f1(x)，那么有()Af1()f1()Cf1()f1(2)解析：函数f(x)(exex2)ex是一个单调递增函数，f1(x)在(0，)上也是单调递增函数又x1，f(x)exe.2，2e3，0e21，(e2)230，2；，2.7e2.8，1.2e0，2.在x1时，函数
3、f(x)(exex2)的值域为(0，)，其中1)的反函数是_解析：依题意，由y(x1)得x(y1)，所以函数y(x1)的反函数是y(x1)答案：y(x1)8(2023成都一诊)设函数f(x)e2(x1)，yf1(x)为yf(x)的反函数，假设函数g(x)，那么gg(1)_.解析：依题意得g(1)121，gg(1)g(1)f1(1)设f1(1)t，那么有f(t)1，即e2(t1)1，t1，所以gg(1)1.答案：19函数f(x)的反函数f1(x)的图象的对称中心是(1,3)，那么实数a的值为_解析：因为f1(x)的图象的对称中心是(1,3)，所以f(x)的图象的对称中心为(3，1)又由f(x)1
4、，那么f(x)的图象可由g(x)的图象中心(0,0)平移到(3，1)得到，所以a13，即a2.答案：210(2023重庆二次调研)假设函数f(x)log2(4x2)，那么方程f1(x)x的解是_解析：由f1(x)x，得xf(x)，xlog2(4x2)，即2x4x2，2x2.x1.答案：x1三、解答题(共50分)11(15分)求ylg(x)的反函数解：由x0，得x，x2.lg(x)lglglg2.由ylg(x)得x10y，x10y.x24x2210yx102y.x(410y10y)故f1(x)(10x410x)，x(，lg212(15分)设函数f(x)2x1有反函数f1(x)，g(x)log4(
5、3x1)，(1)假设f1(x)g(x)，求x的取值范围D；(2)设H(x)g(x)f1(x)，当xD时，求函数H(x)的值域及它的反函数H1(x)解：(1)f(x)2x1的定义域是R，值域是(1，)由y2x1解得xlog2(y1)(y1)，f1(x)log2(x1)(x1)，于是f1(x)g(x)即为log2(x1)log4(3x1)，即0x1，即D0,1(2)H(x)g(x)f1(x)log4(3x1)log2(x1)log2log2(3)0x1，132.0log2(3).H(x)的值域为0，由ylog2(3)得322y，34y，x1，x，y0，H1(x)(x0，)13(20分)(2023上
6、海高考)函数yf1(x)是yf(x)的反函数定义：假设对给定的实数a(a0)，函数yf(xa)与yf1(xa)互为反函数，那么称yf(x)满足“a和性质；假设函数yf(ax)与yf1(ax)互为反函数，那么称yf(x)满足“a积性质(1)判断函数g(x)x21(x0)是否满足“1和性质，并说明理由；(2)求所有满足“2和性质的一次函数；(3)设函数yf(x)(x0)对任何a0，满足“a积性质求yf(x)的表达式解：(1)函数g(x)x21(x0)的反函数是g1(x)(x1)，g1(x1)(x0)，而g(x1)(x1)21(x1)，其反函数为y1(x1)，故函数g(x)x21(x0)不满足“1和性质(2)设函数f(x)kxb(xR)满足“2和性质，k0.f1(x)(xR)，f1(x2)，而f(x2)k(x2)b(xR)，得反函数为y，由“2和性质定义可知对xR恒成立，k1，bR，即所求一次函数为f(x)xb(bR)(3)设a0，x00，且点(x0，y0)在yf(ax)图象上，那么(y0，x0)在函数yf1(ax)图象上，故可得ay0f(x0)af(ax0)令ax0x，那么a，f(x0)f(x)，即f(x).综上所述，f(x)(k0)，此时f(ax)，其反函数就是y，而f1(ax)，故yf(ax)与yf1(ax)互为反函数
