1、4 4 数据的数字特征数据的数字特征 4.1 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 4.2 标准差标准差 1 1.根据实际问题的需求，能够从数据中提取基本的数字根据实际问题的需求，能够从数据中提取基本的数字特特征征，如平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差，如平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等等.2.2.通过实例理解数据标准差的意义和作用通过实例理解数据标准差的意义和作用.3.3.学会根据不同要求选择不同的统计量来表达数据的信学会根据不同要求选择不同的统计量来表达数据的信息息.数据的信息除了通过前面介绍的数据的信息除了通过前面介绍的用用各种
2、统计图表各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征.小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成，工作人员由五个领工和十个工人他的弟弟和六个亲戚组成，工作人员由五个领工和十个工人组成组成.工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征
3、而来与小明交谈份工作，应征而来与小明交谈.小明说：“我们这里报酬不小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周错，平均薪金是每周300300元元.你在学徒期每周你在学徒期每周7575元，不过很快元，不过很快就可以加工资了就可以加工资了.”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周每周100100元，平均工资怎么可能是一周元，平均工资怎么可能是一周300300元呢？”小明说：元呢？”小明说：“小亮啊，不要激动，平均工资是“小亮啊，不要激动，平均工资是300300元
4、，你看，这是一张元，你看，这是一张工资表工资表.”人人 员员 小明小明 小明弟小明弟 亲戚亲戚 领工领工 工人工人 周工资周工资 24002400 10001000 250250 200200 100100 人人 数数 1 1 1 1 6 6 5 5 1010 合合 计计 24002400 10001000 15001500 10001000 10001000 工资表如下工资表如下:这到底是怎么了？这到底是怎么了？1.1.什么叫平均数？有什么意义？什么叫平均数？有什么意义？2.2.什么叫中位数？有什么意义？什么叫中位数？有什么意义？3.3.什么叫众数？有什么意义？什么叫众数？有什么意义？4.4
5、.什么叫极差？有什么意义？什么叫极差？有什么意义？5.5.什么叫方差？有什么意义？什么叫方差？有什么意义？6.6.什么叫标准差？有什么意义？什么叫标准差？有什么意义？1.1.一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据数据12,nx xx的平均数为的平均数为12nxxxxn.平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平平均水平.2.2.一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数.一
6、组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势.3 3.一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势.平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差 5.5.方 差 是 样 本 数 据 到 平 均 数 的 平 均 距 离，一 般 用方 差 是 样 本 数 据 到 平 均 数 的 平 均 距 离，一 般 用2s表 示，通 常 用 公 式表 示，通 常
7、用 公 式2222121()()()nsxxxxxxn来计算来计算.反映了数据的离散程度反映了数据的离散程度.方差越大，数据的离散程度越方差越大，数据的离散程度越大大,方差越小数据的离散程度越小方差越小数据的离散程度越小.6 6.标准差等于方差的标准差等于方差的正的正的平方根，即平方根，即2ss，与方差的作用相同，描述一组数据围绕平均数的，与方差的作用相同，描述一组数据围绕平均数的波动程度的大小波动程度的大小.4.4.一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况.例例1 1 某公司员工的月工
8、资情况如下表所示：某公司员工的月工资情况如下表所示：月工资月工资/元元 80008000 50005000 40004000 20002000 10001000 800800 700700 600600 500500 员工员工/人人 1 1 2 2 4 4 6 6 1212 8 8 2020 5 5 2 2 (1)(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数.(2)(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？资情况？税务官呢？工会领导呢？解：解：（1 1）该
9、公司员工的月工资平均数为）该公司员工的月工资平均数为 即该公司员工月工资的平均数为即该公司员工月工资的平均数为13731373元元.8000 1 5000 24000 42000 6 1000 12 800 8 700 20 600 5 500 21 24 6 12 8 20 5 21373 (2)(2)公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数13731373作为月工资的代表；而税务官希望取中位数作为月工资的代表；而税务官希望取中位数800800，以便，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会知道目前的所得税率对该公司的多数员工
10、是否有利；工会领导则主张用众数领导则主张用众数700700，因为每月拿，因为每月拿700700元的员工最多元的员工最多.中位数为中位数为800800元，众数为元，众数为700700元元.例例2 2 在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的1616台自动台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示，如图所示：售货机的销售额可以用茎叶图表示，如图所示：（1 1）甲、乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？）甲、乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？（2 2）你能从图中分别比较甲、乙两组数据的平均数和方差）你能从图中分别比较甲、乙两组数据的平均数和方差的大小吗？的大
11、小吗？解：解：(1)(1)观察茎叶图，我们不难观察茎叶图，我们不难看出：甲城市销售额的中位数为看出：甲城市销售额的中位数为20,20,众数为众数为10,18,30,10,18,30,极差为极差为53;53;乙乙城市销售额的中位数为城市销售额的中位数为29,29,众数为众数为23,3423,34，极差为，极差为38.38.（2 2）从茎叶图中我们不难看出：甲城市销售额分布主要在）从茎叶图中我们不难看出：甲城市销售额分布主要在茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销售额分布则相对茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销售额分布则相对集中在茎叶图的中部集中在茎叶图的中部.由此，我们可以估计：甲城市销售额由此
12、，我们可以估计：甲城市销售额的平均数比乙城市的小，而方差比乙城市的大的平均数比乙城市的小，而方差比乙城市的大.平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是反映平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数经常被使用的中心；当变量是分类变量时，众数经常被使
13、用.例例3 3 甲、乙两台机床同时生产直径是甲、乙两台机床同时生产直径是40mm40mm的零件的零件.为了检验为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取1010件进行测量，件进行测量，结果如下表所示结果如下表所示 甲甲 40.040.0 39.839.8 40.140.1 40.240.2 39.939.9 40.040.0 40.240.2 39.839.8 40.240.2 39.839.8 乙乙 40.040.0 40.040.0 39.939.9 40.040.0 39.939.9 40.140.1 40.140.1 40.140.1 40.0
14、40.0 39.939.9 分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的1010件产品直径的标件产品直径的标准差准差.，并判断哪一个机床更稳定，并判断哪一个机床更稳定.解：解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这1010件产品直件产品直径的平均值径的平均值:我们分别计算它们直径的标准差：我们分别计算它们直径的标准差：/mm/mm /mm/mm x40(mm)甲x40(mm)乙222s(4040)(39.840)(39.840)/100.161(mm)甲222s(4040)(4040)(39.940)/100.077(mm)乙 由上面的
15、计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161mm0.161mm，比乙机床的标准差，比乙机床的标准差0.077mm0.077mm大，说明乙机床生产大，说明乙机床生产的零件更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些的零件更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些.对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的身意义的理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的熟练程
16、度熟练程度.1.1.下表是某班下表是某班4040名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：表：分数分数 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 人数人数 4 4 7 7 1010 x x 8 8 y y 请参照这个表解答下列问题：请参照这个表解答下列问题：用含用含x x，y y的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分分f f；若该班这次竞赛的平均分为；若该班这次竞赛的平均分为2.52.5分，求分，求x x、y y的值的值.,x y解：（1）355940 xyf；(2)依题意，有354111xyx y 解得74xy 2.2.某同学使用计算器求某同学使用计算器求3030个数据的平均数时，错将其中个数据的平均数时，错将其中一个数据一个数据105105输入为输入为1515，那么由此求出的平均数与实际平，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是均数的差是_ 答案：答案：-3 3 解：（解：（1 1）2x30(cm)甲，2x31(cm)乙 xx甲乙，即乙种玉米的苗长得高，即乙种玉米的苗长得高.（2 2）22222
