1、摘 要倒立摆系统是典型的不稳定系统，因其具有多变量、强耦合、非线性和快速运动的绝对等特征，倒立摆系统在新型控制理论和方法的效性检验中发挥着十分重要的作用。与此同时，对倒立摆系统的稳定性进行研究，不仅在理论方面而且在方法方面，都具有非常重要的意义。只要能有效控制倒立摆的平衡点，就能准确揭示包括随动性、鲁棒性、镇定性和跟踪在内的许多控制理论领域的重要研究主题。本研究在区别倒立摆不同的类型、整理学界研究脉络的基础上，对二级倒立摆的控制器进行了设计。随后对其进行结构分析，在分析过程中忽略诸如空气摩擦，摆杆粘连等因素。然后对二级倒立摆的结构进行了分析，运用了基于拉格朗日方法的二级倒立摆数学模型。之后运用
2、最优控制理论对倒立摆数学模型进行展开分析，再基于MATLAB中LQR（linear quadratic regulator）函数，确定了倒立摆闭环控制系统状态反馈向量和最优控制目标函数。在设计二次型控制系统（LQR）时运用MATLAB运算及其仿真能力。在MATLAB仿真过程中，对加权矩阵Q和R进行适时调整，在此基础上终结出其动态响应与Q和R阵之间的基本规律，进而调整其参数，最优化LQR控制器的控制效果。结果显示：通过LQR控制器，二级倒立摆的稳定性和快速性可以得到优化。关键词：二级倒立摆；最优控制；LQR控制器；MATLAB仿真；IAbstractThe inverted pendulum s
3、ystem is a typical unstable system. Due to its multivariate, nonlinear, strong coupling and absolute motion, it plays an important role in the validity test of new control theory and method. At the same time, studying the stability of the inverted pendulum system is of great significance both in the
4、ory and in method. As long as the balance point of the inverted pendulum can be effectively controlled, it can accurately reveal important research topics in many control theory fields including follow-up, robustness, stabilization and tracking.In this study, the controller design of the two-stage i
5、nverted pendulum was carried out on the basis of distinguishing different types of inverted pendulum and combing the research context. Subsequent structural analysis was carried out, and factors such as air friction and pendulum sticking were ignored during the analysis. Then the structure of the do
6、uble inverted pendulum is analyzed, and the model used is the mathematical model of the two-stage inverted pendulum based on the Lagrangian method. Then apply the optimal control theory to analyze the inverted pendulum mathematical model, and then based on LQR (linear quadratic regulator) in MATLABT
7、he function determines the state feedback vector and the optimal control objective function of the inverted pendulum closed-loop control system. Use MATLAB operations and simulation capabilities when designing a quadratic control system (LQR). In the MATLAB simulation process, the weighting matrices
8、 Q and R are adjusted in time. On this basis, the basic laws between the dynamic response and the Q and R arrays are terminated, and then the parameters are adjusted to optimize the control effect of the LQR controller. The results show that the stability and rapidity of the two-stage inverted pendu
9、lum can be optimized by the LQR controller. Keywords: level two inverted pendulum; optimal control; LQR controller; MATLAB Simulation；目录1 绪论11.1 选题背景11.2倒立摆的分类11.2 倒立摆控制问题国内外的研究现状11.2.1 倒立摆的诞生11.2.2 倒立摆问题的发展21.3 本文的研究内容及创新点21.3.1 研究内容21.3.2 创新点32 倒立摆数学模型42.1 一级直线倒立摆数学建模42.2二级直线倒立摆系统数学建模52.3二阶直线倒立摆系统
10、性能分析122.3.1 系统稳定性分析122.3.2 系统能控性分析132.3.3 系统能观测性分析133 最优控制理论143.1最优控制的基本概念143.2 LQR控制原理简介143.2二阶直线倒立摆LQR控制器设计163.2.1 加权矩阵Q、R元素的选取163.2.3 二级直线倒立摆LQR控制器设计174.1 二阶倒立摆控制系统原理184.2 二阶倒立摆控制系统组成184.2.1 二级直线倒立摆控制系统组成18（4） 求解公式（34）Riccatti方程中解矩阵P；195 二阶直线倒立摆LQR控制系统的MATLAB仿真205.3仿真调试时出现问题的解决30结论31参考文献32谢辞331 绪
11、论1.1 选题背景自动控制理论作为现代科学技术的后起之秀，在很多科研方向都得到了充分的重视和关注，是现代工程诸多学科中发展势头最迅猛的学科，与此相应地，自动控制技术在应用领域的应用也越来越普遍化。作为自动控制技术重要分支的倒立摆系统，是典型的平衡控制，同时也是欠驱动非线性控制系统的范例。倒立摆系统有着严重的非线性程度、高阶的不稳定性，同时也包含诸多变量。倒立摆不仅是重要的实验设备，同时也是重要的应用型装置，此外它还与许多理论、方法相关：动力系统建模、位置控制、姿态调整、轨迹跟踪、稳定控制、镇定问题等等。因此，对多级倒立摆系统进行深入研究，具有重大的理论价值和迫切的现实意义。由于随着摆杆级数的增
12、多，控制难度急剧提高，所以本文选择二级直线倒立摆的控制设计作为切入点对倒立摆系统及控制问题进行探索。1.2倒立摆的分类目前倒立摆的结构很多，其中名称和分类比较繁杂，倒立摆的结构一般都由一个可移动的小车和能自由摆动的摆杆组成，以铰链或万象联轴，将摆杆与小车、摆杆与摆杆进行连接，按倒立摆的摆杆数，倒立摆可分成：一级、二级、三级、四级直至级倒立摆。当前我国的倒立摆类别是按照小车运动轨迹划分的，小车运动轨迹如果是直线的称为直线倒立摆，小车运动轨迹如果是平面的，称为平面倒立摆，小车运动轨迹如果是环形的，则称之为环形倒立摆。直线倒立摆是指：倒立摆的摆杆摆动的范围是一个铅锤面。小车做直线轨迹运动的倒立摆。本
13、研究所要探索设计的是二级直线倒立摆，它是指倒立摆的两个摆杆和小车在同的平面中。1.2 倒立摆控制问题国内外的研究现状1.2.1 倒立摆的诞生20世纪初，随着冷战进入太空竞赛，大批科研工作者开始从事航空航天研究。最初的目的是控制发射火箭时的垂直度，还有控制卫星的飞行姿态，20世纪50年代，麻省理工学院（MIT）控制论专家根据火箭发射的助推器原理，设计出第一台倒立摆设备，以方便在实验室进行模拟研究。1.2.2 倒立摆问题的发展cannon等人于1976年，借助线性比例控制器，稳定控制了一级倒立摆系统，同年，Mor等人首先在平衡点领域内，对该系统的微分方程进行了线性化，并运用状态空间方法对比例微分控
14、制器稳定控制进行了设计。Furuta等人在1991年，控制了该系统的自动摆起。1984年Watts等人采用LQR（linear Quadratic Regulator）方法来控制倒立摆。北京航空航天大学的张明廉教授在1994年运用拟人智能控制理论，进一步控制了直线三级倒立摆实物。Spong于同年对欠驱动双连杆机器人及其自动摆起问题进行了研究。Fer等人在1996年运用逆系统方法实现了三级倒立摆控制。Torres-Pomales于1996年采用滑模控制，实现了一级倒立摆自动摆起。在1997年，Gordillo运用LQR方法和基于遗传算法的控制方法，对倒立摆系统的控制性能进行了对比。随着控制理论的
15、发展和相关技术的提高，对于一、二级倒立摆控制已经不是什么难题了。Medrano-cerda于1997年采用鲁棒控制实现了三级直线倒立摆实物控制。1999年李德毅教授采用云控制方法实现了直线三级倒立摆控制。李洪兴教授于2002年运用变论域自适应模糊控制第一次实现了直线四级倒立摆实物系统控制。在2003年，李洪兴教授领导的科研团队实现了空间三级倒立摆实物系统控制，在2010年，又实现了空间四级倒立摆实物系统控制。自此我国在倒立摆控制理论的研究领域步入国际一流水平。1.3 本文的研究内容及创新点1.3.1 研究内容二级倒立摆系统具有绝对不稳定性,对二级倒立摆系统的稳定控制，可以实现对大多新型控制理论
16、的检验。鉴于单级倒立摆系统过于简单,但三、四级又过于复杂,因此本研究采用二级倒立摆系统的设计。本文内容安排如下：第二章进行数学建模，进一步得出二级倒立摆系统的数学模型，然后应用拉格朗日方程对运动学方程进行推导。之后运用现代控制理论对其能观能控性进行分析。第三章对最优控制相关理论知识进行阐述，并使用此理论线性化倒立摆运动学方程。进而明确二级直线倒立摆控制器为LQR。第四章基于MATLAB设计LQR控制器。第五章选取并调节Q，R阵参数使系统的稳定性，快速性较为理想。1.3.2 创新点此研究致力捋清各种主流控制理论在二级倒立摆问题的优势。352 倒立摆数学模型2.1 一级直线倒立摆数学建模一级倒立摆系统具有不稳定性，当忽略空气摩擦等阻力，以及铰链
