1、浅谈初中数学分类讨论思想浅谈初中数学分类讨论思想 黄国云 摘要:分类讨论思想实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维方式在数学解题中的体现。是一种弱化问题,强化条件,以退为进的策略,简化了原问题的难度。关键词:分类讨论思想;整合突破 在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的;有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究;还有些问题的已知量是含参形式给出的,因为参数的取值不同必然会影响问题的结论。我们将问题分解成几个相互独立的子问题来处理,最后综合这些子问题的解答,得到对整个原问题的解答。这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想称之为分类讨论思想。分类讨论思想是数学
2、解题中的一种重要的解题方法,对培养学生的思维能力的综合性、探索性、条理性具有重要的作用。在教学过程中,教师可以根据中学生逻辑思维的特征,有意识的对需要用分类讨论思想解决的数学问题进行适当的归类,对各类型分类问题进行探究,归纳。则有可能突破分类讨论这一教学重难点。笔者在本文中归纳说明几种常见的分类讨论的热点类型,以供参考。1 含参变量根据数学定义而进行的分类讨论 例:若关于 x 的方程 mx2m-1+(m-1)x-2=0 是一元一次方程,则 m 为。分析:根据一元一次方程的定义,含一个未知数,未知数的次数是 1 次的整式方程是一元一次方程。因含参变量 m 的取值会导致不同的结果的产生,因此所求解
3、的问题分三种情况讨论:x 的指数 2m-1=1,解得 m=1;x 的指数 2m-1=0,解得 m=0.5;未知数 x 的系数 m=0。2 在实数的计算中的分类讨论 例:若 x2=4 则 x=;若|x|=4,则 x=。在实数计算中,绝对值,平方根等问题,经常要分类讨论。3 因动点位置不确定而产生的分类讨论 例:如图,在 RtABC 中,B=90,AB=12cm,AC=20cm,点 P 从顶点 A 沿AB 以 3cm/s 的速度向点 B 运动,同时点 Q 从点 C 沿 CA 以 5cm/s 的速度向点 A运动,当APQ 是等腰三角形时,求运动时间 t 的值。分析:因双动点 P、Q 位置不确定产生等
4、腰的三种情况:AP=AQ;当 QP=QA;AP=PQ。还可以把原题进行如下变式:变式 1:当APQ 直角三角形,求运动时间 t 的值。变式 2:当APQ 与ABC 相似时,求运动时间 t 的值。4 与等腰三角形有关的分类讨论 4.1 与角有关的分类讨论 例:已知等腰三角形中一个角的度数为 40,则底角的度数为。分析:在等腰三角形中,无论边还是顶角、底角不确定的情况下,要分情况 求解:当顶角为 40时,底角的度数是 70;当底角为 40时,顶角的度数是 100。4.2 与边有关的分类讨论 例:等腰三角形一边长 9cm,另一边长 4cm,它的第三边是多少?分析:这里的“一边”可以是等腰三角形的腰,
5、也可以是底。分两类情况讨论:当底为 9 时,三边长为 4,4,9,4+49,不能构成三角形;当腰长为 9时,三边长为 9,9,4,满足三角形三边关系,第三边长为 9。通過这个问题,进一步说明对分类讨论的结果要根据相关的定理,进行正确取舍,整合出原问题的答案。5 与直角三角形有关的分类讨论 例:在直角三角形 ABC 中,若 2AB=AC,则 cosC=。分析:在直角三角形中,如果没有指明哪条边是直角边、斜边,这需要根据实际情况讨论;当然,在不知哪个角是直角时,有关角的问题也需要先讨论后求解.本题中,较长边 AC 可以是直角边,也可以是斜边,所以分两类情况讨论。当 AC 是直角边时,cosC=AC
6、BC=2 5;当 AC 是斜边时,cosC=BC:AC=2:3 6 点与圆的位置关系不确定的分类讨论 例:平面上,有一个点到与已知圆各点所连的所有线段中,最短为 6cm,最长为 9cm,则该圆的半径为。分析:点在圆内,还是点在圆外不明确,所以需要分类讨论:当这个点在圆外时,该圆的半径为(9-6)2=1.5cm;当这个点在圆内时,该圆的半径为(9+6)2=7.5cm.故答案为:1.5 厘米或 7.5 厘米.分类讨论是一种数学思想,更是一种逻辑思维习惯,属于综合性比较强的问题,难度比较大。想突破分类讨论问题难点,需要我们在教学过程中需要不断渗透分类讨论的思想,循序渐进地通过解决一些典型的常见的分类问题中,给学生足够思考的空间,抓住图形的特征及图形的变换,体会分类的原因,明确分类的标准,感悟分类基本原则-不重复,不遗漏。培养正确的分类技巧,并会对结果进行合理整合,逐步引导,不断归纳,才能提高学生的数学思维能力,提升学生的数学素养。参考文献:1 操斌.循序渐进整合突破J.中学数学教学参考(下旬),2019(07).2 殷曼曼.厘清分类,正确讨论J.中学数学教学参考(下旬),2019.3 陈长明.平面几何分类讨论问题探源J.中学数学教学参考(下旬),2019(09).(作者单位:福建省罗源第三中学)