1、海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理科） 2023.5 陈亮 校对：张浩一、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1集合，那么 A B C D2函数图象的对称轴方程可以为 A B C D 3如图，是O的直径，切O于点，连接，假设，那么的大小为 A. B. C. D. 4函数在定义域内零点的个数为 A0 B1 C2 D3开始S=0MS=S+k结束输出S是否k=15不等式组所表示的平面区域的面积为4，那么的值为 A1 B C1或 D06，是不同的直线，是不同的平面，那么以下条件能使成立的是 A， B，C， D，7按照如图的程序框图执行，
2、假设输出结果为15，那么M处条件为A B C D 8动圆C经过点(0，1),并且与直线相切，假设直线与圆C有公共点，那么圆C的面积 A有最大值为B有最小值为 C有最大值为 D有最小值为二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9在极坐标系中，假设点()是曲线上的一点，那么 .10某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）.，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，那么 .（填“、“或“）11向量a=，b=，假设，那么 ； .12. 数列满足，（N），那么的值为 .13在中，角,所对应的边分别为,，假设，那么
3、的最大值为 .14给定集合，映射满足：当时，；任取假设，那么有.那么称映射：是一个“优映射.例如：用表1表示的映射：是一个“优映射. 表1 表212323112343（1）表2表示的映射： 是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）假设映射：是“优映射，且方程的解恰有6个，那么这样的“优映射的个数是_.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解容许写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15（本小题总分值13分）记等差数列的前n项和为，.（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前n项和.16（本小题总分值14分）四棱锥，底面为矩形，侧棱，其中，为侧棱上的两个三等分点，如下列
4、图.（）求证：；（）求异面直线与所成角的余弦值；（）求二面角的余弦值.17（本小题总分值13分）为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立.（）求4人恰好选择了同一家公园的概率；（）设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的分布列及期望18（本小题总分值13分）函数，其中a为常数，且.（）假设，求函数的极值点；（）假设函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.19（本小题总分值13分）椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线与抛物线分别相交于A,B
5、两点.（）写出抛物线的标准方程；（）假设，求直线的方程；（）假设坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值. 20（本小题总分值14分）函数的图象在上连续不断，定义：，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值假设存在最小正整数，使得对任意的成立，那么称函数为上的“阶收缩函数（）假设，试写出，的表达式；（）函数，试判断是否为上的“阶收缩函数，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；（），函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围. 海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理） 参考答案及评分标准 20235说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数
6、.第一卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每题5分,共40分）题号12345678答案BADCABAD第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）91 10 112 ； 1248 13 14；84. 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15（本小题总分值13分）解：（）设等差数列的公差为d，由， 可得 ， 2分 即， 解得，4分 ， 故所求等差数列的通项公式为.5分（）依题意， ，7分 又， 9分 两式相减得11分 ，12分 .13分16（本小题总分值14分）（）证明：连结交于，连结 ， ， 1分， 3分
7、，. 4分（）如下列图，以为原点，建立空间直角坐标系，那么，,5分,7分异面直线与所成角的余弦值为.8分（）侧棱, 9分设的法向量为,，并且,，令得，,的一个法向量为.11分,13分由图可知二面角的大小是锐角,二面角大小的余弦值为.14分 17 （本小题总分值13分）解：（）设“4人恰好选择了同一家公园为事件A. 1分每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有种等可能的情况. 2分事件A所包含的等可能事件的个数为3， 3分所以，. 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为. 5分（）设“一名志愿者选择甲公园为事件C，那么.6分4人中选择甲公园的人数可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，
8、随机变量服从二项分布.可取的值为0，1，2，3，4. .8分， .10分的分布列为:01234.12分的期望为 .13分18.（本小题总分值13分）解法一：（）依题意得，所以，.1分 令，得，.2分 ，随x的变化情况入下表：x0+0极小值极大值4分 由上表可知，是函数的极小值点，是函数的极大值点. 5分（） , .6分由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立，.7分 当时，显然对任意恒成立；.8分 当时，等价于，因为，不等式等价于,.9分 令， 那么，在上显然有恒成立，所以函数在单调递增，所以在上的最小值为，.11分由于对任意恒成立等价于对任意恒成立，需且只需，即，解得，因为，所以.综合上述，
9、假设函数在区间上单调递减，那么实数a的取值范围为.13分解法二：（）同解法一（）, .6分由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立，7分 当时，显然对任意恒成立；8分 当时，令，那么函数图象的对称轴为，.9分 假设，即时，函数在单调递增，要使对任意恒成立，需且只需，解得，所以;.11分 假设，即时，由于函数的图象是连续不间断的，假设对任意恒成立，那么有，解得，与矛盾，所以不能对任意恒成立.综合上述，假设函数在区间上单调递减，那么实数a的取值范围为.13分19（本小题总分值13分）解：（）由题意，抛物线的方程为：， 2分（）设直线的方程为：.联立，消去，得 ， 3分显然，设，那么 4分又，所以 5分由 消去，得 ， 故直线的方程为或 . 6分（）设，那么中点为， 因为两点关于直线对称，所以，即，解之得， 8分将其代入
