1、2023年新课标省市高三数学模拟题分类 第四节 立体几何、空间向量 1.2023陕西省一模在平面直角坐标系xoy中，四点A(2，0)，B(2，0)，C(0，2)，D(2，2)，把坐标系平面沿y轴折为直二面角.1求证：BCAD；2求二面角CADO的大小；3求三棱锥CAOD的体积.2.2023银川二中二模ABCDPA1B1C1D1C1如图，在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱，P是侧棱上的一点，. 试问直线与AP能否垂直？并说明理由；试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60；假设m=1，求平面PA1D1与平面PAB所成角的大小.3.2023北京海淀区一模如图，三棱柱中，侧面底
2、面，且，为中点证明：平面；求直线与平面所成角的正弦值；在上是否存在一点，使得平面，假设不存在，说明理由；假设存在，确定点的位置4.2023辽宁丹东二模在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点I求证：EF平面PAD；II求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；III假设M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？5.2023吉林实验中学模拟如图,在底面为直角梯形的四棱锥, 求证: 求二面角的大小6.2023东北师大附中最后一模如图，在直三棱柱中
3、，是棱上的动点，是中点 ，.求证：平面；假设二面角的大小是，求的长.7.2023北京丰台区一模如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点求证：；确定点在线段上的位置，使/平面，并说明理由当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值8.2023福建泉州一中最后模拟右图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，/，且=。1求证：/平面；2假设为线段的中点，求证：平面；3假设，求平面与平面所成的二面角的大小。9.2023吉林农安中学高三冲刺卷如图1，直角梯形中，分别为边和上的点，且，将四边形沿折起成如图2的位置，使求证：平面；求四棱锥的体积；求面与面所成锐二面角的余弦值图1图210.20
4、23浙江省考前预测卷如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB1求证：AB平面PCB；2求异面直线AP与BC所成角的大小；3求平面PAC和平面PAB所成锐二面角的余弦值.11.2023北京朝阳区一模如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点求证：平面；求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值2023年新课标省市高三数学模拟题分类 第四节 立体几何、空间向量详解答案 1. 解法一：1BOCD为正方形，BCOD，折起后OD为AD在面BOCD上的射影，由三垂线定理知：BCAD (3分)2设BC交OD于E点，过E作EFDA于
5、F，连接CF，那么CFAD，那么CFE为所求二面角的平面角。显然CE=，在RtAOD中，OA=2，OD=2，那么AD=2，tanCFE=，CFE= (8分)3 12分解法二：建立空间坐标系如以下图，此时A(0,2,0)，B(0,0,2)，C(2,0,0)，D(2,0,2)1=(2,0,-2)，=(2,-2,2)，4-4=0，BCAD(3分)2取平面OAD的法向量，由于，取平面CAD的法向量那么，所求二面角为60 (8分)312分2. 以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立如以下图的空间直角坐标系O-xyz.ABCDPA1B1C1D1C1xyz那么D(0,0,0)， A(1,0,
6、0)， B(1,1,0)， C(0,1,0), D1 (0,0,2)，A1 (1,0,2)，B1 (1,1,2)，C1 (0,1,2)， P(0,1,m)，所以，.4分又，的一个法向量. 设直线与平面所成的角为，那么=，解得.故当时，直线AP与平面所成角为60.8分m=1，P(0,1,1)，.设平面PA1D1的法向量为，可求得，设平面PAB的法向量为，可求得.，故平面PA1D1与平面PAB所成角为600. 12分3. 证明：因为，且为的中点，所以又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系由题意可知，又所以得：，那么有：， 设平面的一个法向
7、量为，那么有，令，得，所以因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以设，即，得所以，得令平面，得，即，得，即存在这样的点，为的中点4. 方法1：I证明：平面PAD平面ABCD，平面PAD， 2分E、F为PA、PB的中点，EF/AB，EF平面PAD； 4分II解：过P作AD的垂线，垂足为O，那么PO平面ABCD 连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系， 6分PA=PD，得，故，设平面EFG的一个法向量为那么， 7分平面ABCD的一个法向量为平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：，锐二面角的大小是； 8分III解：设，Mx，0，那么，设MF与平面EFG所成角为，那么，
8、或，M靠近A， 10分当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于12分方法2：I证明：过P作P OAD于O， 那么PO平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系， 2分PA=PD，得，故，EF平面PAD； 4分II解：，设平面EFG的一个法向量为 那么， ，7分平面ABCD的一个法向量为【以下同方法1】方法3：I证明：平面PAD平面ABCD，平面PAD， 2分E、F为PA、PB的中点，EF/AB，EF平面PAD； 4分II解： EF/HG，AB/HG，HG是所二面角的棱， 6分HG / EF，平面PAD， DHHG，EHHG ，EHA是锐二面角的平面角，等于； 8分II
9、I解：过M作MK平面EFG于K，连结KF，那么KFM即为MF与平面EFG所成角， 10分因为AB/EF，故AB/平面EFG，故AB/的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离，平面PAD，平面EFGH平面PBD于EH， A到平面EFG的距离即三角形EHA的高,等于，即MK，在直角梯形中，或M靠近A， 11分当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于12分5. 解法一：平面，平面AEDPCB又，即又平面6分连接平面，为二面角的平面角在中，二面角的大小为 12分解法二：如图，建立坐标系，那么，又，面AEDPCByzx设平面的法向量为，设平面的法向量为，那么n, n解得，n二面角的大小为6. 证
10、明：三棱柱是直棱柱，平面. 又平面， .，是中点，. 又， 平面. 解：以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如以下图的空间直角坐标系，那么,. 设，平面的法向量，那么,.且，.于是所以取，那么 三棱柱是直棱柱， 平面.又 平面， . ， . ， 平面. 是平面的法向量，. 二面角的大小是，. 解得. . 7. 面，四边形是正方形，其对角线，交于点，平面，平面， 当为中点，即时，平面，理由如下：连结，由为中点，为中点，知，而平面，平面，故平面作于，连结，面，四边形是正方形，又，且，是二面角的平面角， 即，面，就是与底面所成的角连结，那么，与底面所成角的正切值是另解：以为原点，、所在的直线分别为、轴建立空间直角坐标系如以下图，设正方形的边长为，那么，要使平面，只需，而，由可得，解得，故当时，平面设平面的一个法向量为，那么，而，取，得，同理可得平面的一个法向量设所成的角为，那么，即， 面，就是与底面所成的角，18. 8. 解：I证明：，同理可得BC/平面PDA，又，4分II如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，PD=a，
