1、大一高数期末考试试题大一高数期末考试试题高数试题一填空题共5小题，每题4分，共计20分11lim(ex)xx0x2.211x1x201xexexdxetdtxx2.3设函数yy(x)由方程1xy确定，那么tf(t)dtf(x)f(0)1fx1.4.设可导，且，那么fx.5微分方程y4y4y0的通解x0dydx为.二选择题共4小题，每题4分，共计16分1设常数k0，那么函数f(x)lnxxke在(0,)内零点的个数为.(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2微分方程y4y3cos2x的特解形式为.AyAcos2x;ByAxcos2x;CyAxcos2xBxsin2x;DyAsin2x.
2、3以下结论不一定成立的是.xfxdxfxdxc,da,bcaA假设,那么必有;B假设f(x)0在a,b上可fxdx0积,那么;C假设fx是周期为T的连续函数,那么对任意常数a都有abdbaTafxdxfxdx0Ttftdtfx0;D假设可积函数为奇函数,那么也为奇函数.4.设xfx1e1x1x23e,那么x0是f(x)的.(A)连续点;(B)可去间断点;(C)本页总分值12分本页得分跳跃间断点;(D)无穷间断点.三计算题共5小题，每题6分，共计30分1计算定积分20x3exdx222计算不定积分xsinxdxcos5x.xa(tsint),t2处的切线的方程.求摆线ya(1cost),在设F(
3、x)cos(x2t)dt0x，求F(x).5设xnn(n1)(n2)(n3)(2n)limxnn，求n.四应用题共3小题，每题9分，共计27分1求由曲线y过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.x2与该曲线222设平面图形D由xy2x与yx所确定，试求D绕直线x2旋转一周所生成的旋转体的体积.设a1,f(t)aat在(,)内的驻点为t(a).问a为何值时t(a)最小并求最小值.五证明题7分t1f(0)=f(1)0,f()1，2设函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导且试证明至少存在一点(0,1),使得f()=1.一填空题每题4分，5题共20分：11lim(ex)x0t2xx2e.2112
4、x01x1x201xexexdx4e.3设函数yy(x)由方程xxy1dyedtx确定，那么dx12x2tf(t)dtf(x)f(0)1e1.4.设fx可导，且1，2x那么fxe.5微分方程y4y4y0的通解为y(C1C2x)e.二选择题每题4分，4题共16分：1设常数k0，那么函数内零点的个数为B.f(x)lnxxk(0,)e在(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2微分方程y4y3cos2x的特解形式为CyAcos2xyA；BAxcos2x；CyAxcos2xBxsin2x；DyAsin2x3以下结论不一定成立的是Ax(A)(A)假设c,da,b,那么必有dcfxdxfxdxab
5、b;fxdx0a,bf(x)0a(B)(B)假设在上可积,那么;(C)(C)假设fx是周期为T的连续函数,那么对任意常数a都有aTafxdxfxdx0T;(D)(D)假设可积函数fx为奇函数,那么x0tftdt也为奇函数.4.设fx1e1x1x23e,那么x0是f(x)的C.(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三计算题每题6分，5题共30分：1计算定积分02x3exdx2.解：设x2t,那么20x3exdx21t12tedttdet0220-22221tetetdt002-22131xsinxe2ete2dx50222cosx-22计算不定积分.解：xsinx1
6、11xdxdxxd()4cos5xcos4x4cos4x4cosx-3x12(tanx1)dtanx44cosx4xa(tsint),x113tanxtanxC44cosx124-33求摆线ya(1cost),在t(a(1),a)2处的切线的方程.解：切点为2-2kdyasintdxta(1cost)t21-2yaxa(1)yx(2)a22.-2切线方程为即24.设F(x)cos(x2t)dt0x，那么F(x)2xcosx(2x1)cos(xx).5设xnn(n1)(n2)(n3)(2n)limxnn，求n.1nilnxnln1()ni1n-2解：n1i1limlnxnlimln(1)ln(1
7、x)dx0nnnni1-2=xln(1x)10x01故2ln21limxnen=1dx2ln211x-24e四应用题每题9分，3题共27分1求由曲线yx2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.解：x0,y0)，那么过原点的切线方程为设切点为xy1x2x02，x0,y0)在切线上，带入切线方程，解得切点为x04,y02.-3由于点过原点和点(4,2)的切线方程为面积y22-3s2023(y222y)dy=3-32或s201x2xdx(24122xx2)dx223222设平面图形D由xy2x与yx所确定，试求D绕直线x2旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：VV1V2(11y)dy(2y
8、)2dy012212101y12(y1)2dy-601112(y1)32()043-343法二：V=102(2x)(2xx2x)dx010-52(2x)2xx2dx2(2xx2)dx14(22x)2xx222xx2dx033241221(2xx)210433214122232323-43.设a1,f(t)aat在(,)内的驻点为t(a).问a为何值时t(a)最t小并求最小值.解:由f(t)atlnaa0得t(a)1lnlna.lna-3又由t(a)lnlna10得唯一驻点aee2a(lna)-3当aee时,t(a)0;当aee时,t(a)0,于是aee为t(a)的极小值点.-2故aee为t(a
9、)的最小值点,最小值为t(ee)1lne11.ee-1五证明题7分1f(0)=f(1)0,f()1，2设函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导且试证明至少存在一点(0,1),使得f()=1.证明：设F(x)f(x)x，F(x)在0,1上连续在(0,1)可导，因f(0)=f(1)=0,有F(0)f(0)00,F(1)f(1)11,-21111111f()=11F(=)(-)f=1-=，2222又由2，知2在2上F(x)用零点定理，11F(1)F()=-022根据，-在至少存在一点，使得1F()，=0(,1)(0,1)F(0)=F()=02,由ROLLE中值定理得至少存在一点(0,)(0,
10、1)使得F()=0即f()1=0，证毕.-3可知1(，1)2内扩展阅读：大一高数期末考试题电卓期末高数模拟考试一、单项选择题(本大题有4小题,每题4分,共16分)1.设f(x)cosx(xsinx),那么在x0处有().Af(0)2Bf(0)1Cf(0)0Df(x)不可导.2.设(x)1x1x，(x)333x，那么当x1时.A(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；B(x)与(x)是等价无穷小；C(x)是比(x)高阶的无穷小；D(x)是比(x)高阶的无穷小.3.假设F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且f(x)0，那么.A函数F(x)必在x0处取得极
11、大值；B函数F(x)必在x0处取得极小值；C函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0)为曲线yF(x)的拐点；D函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0)也不是曲线yF(x)的拐点。4.设f(x)是连续函数，且f(x)x210f(t)dt,那么f(x)(x2x2A2B22Cx1Dx2.二、填空题本大题有4小题，每题4分，共16分25.lim(13x)sinxx0.6.cosxx是f(x)的一个原函数,那么f(x)cosx.xdxlim2227.nn(cosncosncos2n1n).12x2arcsinx111x2dx8.2.三、解答题本大题有5小题，每题8分，共40分9.设函数yy
12、(x)由方程exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).求110.x7x(1x7)dx.设f(x)xxe，x0求11.2xx2，0x113f(x)dx)1012.设函数f(x)连续，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A为常数.求1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程满足四、解答题本大题10分14.上半平面内一曲线yy(x)(x0)，过点(0,1)，且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题本大题10分15.过坐标原点作曲线yl
13、nx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题本大题有2小题，每题4分，共8分16.设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q0,1，q1f(x)dxqf(x)dx00.17.设函数f(x)在0,上连续，且0xf(x)dx0，0f(x)cosxdx0.证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.提F(x)示：设0f(x)dx一、单项选择题(本大题有4小题,每题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题本大题有4小题，每题4分，共16分1cosx2()ce635.6.2
14、x.7.2.8.三、解答题本大题有5小题，每题8分，共40分9.解：方程两边求导xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)x0,y0，y(0)77x6dxdu10.解：ux1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C7711.解：130f(x)dxxedx3x100x102xx2dxxd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd412.解：由f(0)0，知g(0)0。x1xtu2e31g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0)g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0)g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x)A2x2
