1、1997年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月5日上午8:00-10:00)一、选择题(每题6分，共36分)1数列xn满足xn+1=xnxn1(n2)，x1=a， x2=b， 记Sn=x1+x2+L+xn，那么以下结论正确的选项是(A)x100=-a，S100=2b-a (B)x100=-b，S100=2b-a(C)x100=-b，S100=b-a (D)x100=-a，S100=b-a2如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得= (0f()f(d)f() (B) f() f(d)f()f() (C) f(d)f()f()f() (D) f(d)f()f()f() 6如果空
2、间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条二填空题(每题9分，共54分)1设x，y为实数，且满足那么x+y = .2过双曲线x2=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，假设实数使得|AB| =的直线l恰有3条，那么= .3复数z满足=1，那么z的幅角主值范围是 4三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，那么点O到平面ABC的距离为 5设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶
3、点之一假设在5次之内跳到D点，那么停止跳动；假设5次之内不能到达D点，那么跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种6设a =logz+logx(yz)-1+1，b =logx-1+log(xyz+1)，c =logy+log(xyz)-1+1，记a，b，c中最大数为M，那么M的最小值为 三、（此题总分值20分）设xyz，且x+y+z =，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值四、(此题总分值20分)设双曲线xy=1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；(2)设P(-1，-1)在C
4、2上， Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标五、(此题总分值20分)设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足其中S为实数且|S|2求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上第二试(10月5日上午10:30-12:30)一、（此题50分）如图，两个半径不相等的O1与O2相交于M、N两点，且O1、O2分别与O内切于S、T两点。求证：OMMN的充分必要条件是S、N、T三点共线。二、（此题50分）试问：当且仅当实数x0，x1，xn（n2）满足什么条件时，存在实数y0，y1，yn使得z=z+z+z成立，其中zk=xk+iyk，i为虚数单位，k=0，1，n。证明你的结论。三、
5、（此题50分）在10025的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第i行第j列中填入的数为xi , j（i=1，2，100；j=1，2，25）（如表1）。然后将表1每列中的数按由小到大的次序从上到下重新排列为x1 , jx2 , jx100 , j（j=1，2，25）。（如表2）求最小的自然数k，使得只要表1中填入的数满足xi，j1（i=1，2，100），那么当ik时，在表2中就能保证xi，j1成立。表1表2x1,1x1,2x1,25x1,1x1,2x1,25x2,1x2,2x2,25x2,1x2,2x2,25x100,1x100,2x100,25x100,1x100,2x100,251997年
6、全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每题6分，共36分)1数列xn满足xn+1=xnxn1(n2)，x1=a， x2=b， 记Sn=x1+x2+L+xn，那么以下结论正确的选项是(A)x100=-a，S100=2b-a (B)x100=-b，S100=2b-a(C)x100=-b，S100=b-a (D)x100=-a，S100=b-a解：x1=a，x2=b，x3=ba，x4=a，x5=b，x6=ab，x7=a，x8=b，易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=a，又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故S100=2ba选A2如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD
7、上，使得= (0+)，记f()=+其中表示EF与AC所成的角，表示EF与BD所成的角，那么 (A) f()在(0，+)单调增加 (B) f()在(0，+)单调减少 (C) f() 在(0，1)单调增加，而在(1，+单调减少 (D) f()在(0，+)为常数解：作EGAC交BC于G，连GF，那么=，故GFBD故GEF=，GFE=，但ACBD，故EGF=90故f()为常数选D3设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，那么这样的数列共有(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个解：设首项为a，公差为d，项数为n，那么na+n(n1)d=972，n2a+(n1)d=2
8、972，即n为2972的大于3的约数 n=972，2a+(9721)d=2，d=0，a=1；d1时a0有一解；n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解； n=297，n=2972，无解n=1，2时n3.选C4在平面直角坐标系中，假设方程m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2表示的曲线为椭圆，那么m的取值范围为 (A)(0，1) (B)(1，+) (C)(0，5) (D)(5，+)解：看成是轨迹上点到(0，1)的距离与到直线x2y+3=0的距离的比：=5，选D5设f(x)=x2x，a = arcsin，=arctan，=arcos()，
9、d=arccot()，那么 (A)f()f()f(d)f() (B) f() f(d)f()f() (C) f(i)f()f()f() (D) f(d)f()f()f() 解：f(x)的对称轴为x=， 易得， 00故f(t)单调增，现x1=1y，x+y=22过双曲线x2=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，假设实数使得|AB| =的直线l恰有3条，那么= 解：右支内最短的焦点弦=4又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长2a=2，这样的弦由对称性有两条故=4时设AB的倾斜角为，那么右支内的焦点弦=4，当=90时，=4与左支相交时，=arccos时，=4故=43复数z满足=1，那么z的幅角主
10、值范围是 解：=14r4+(4cos21)r2+1=0，这个等式成立等价于关于x的二次方程4x2+(4cos21)x+1=0有正根=(4cos21)2160，由x1x2=0，故必须x1+x2=0cos2 (2k+1)arccos2(2k+1)+arccos k+arccosk+arccos，(k=0，1)4三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，那么点O到平面ABC的距离为 解：SA=SB=SC=2，S在面ABC上的射影为AB中点H， SH平面ABC SH上任意一点到A、B、C的距离相等 SH=，CH
11、=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，那么O为SABC的外接球球心SM=1，SO=， OH=，即为O与平面ABC的距离5设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一假设在5次之内跳到D点，那么停止跳动；假设5次之内不能到达D点，那么跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种解：青蛙跳5次，只可能跳到B、D、F三点(染色可证)青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算1，写5个“1，在中填“+号或“号： 11111规那么可解释为：前三个中如果同号，那么停止填写；假设不同号，那么后2个中继续填写符号前三同号的方法有2种；
