1、高中数学竞赛标准讲义:第四章:几个初等函数的性质一、根底知识1指数函数及其性质:形如y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数,其定义域为R,值域为(0,+),当0a1时,y=ax为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。2分数指数幂:。3对数函数及其性质:形如y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+),值域为R,图象过定点(1,0)。当0a1时,y=logax为增函数。4对数的性质(M0, N0);1)ax=Mx=logaM(a0, a1);2)loga(MN)= loga M+ loga N;3)loga()= loga M- loga N;4)loga Mn=n
2、loga M;,5)loga =loga M;6)aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c0, a, c1).5. 函数y=x+(a0)的单调递增区间是和,单调递减区间为和。(请读者自己用定义证明)6连续函数的性质:假设ab, f(x)在a, b上连续,且f(a)f(b)0.【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1),那么f(x)是关于x的一次函数。所以要证原不等式成立,只需证f(-1)0且f(1)0(因为-1a0,f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0,所以f(a)0,即ab+bc+ca+10.例2 (柯西不等式)假设a1, a2,an是不全为
3、0的实数,b1, b2,bnR,那么()()()2,等号当且仅当存在R,使ai=, i=1, 2, , n时成立。【证明】 令f(x)= ()x2-2()x+=,因为0,且对任意xR, f(x)0,所以=4()-4()()0.展开得()()()2。等号成立等价于f(x)=0有实根,即存在,使ai=, i=1, 2, , n。例3 设x, yR+, x+y=c, c为常数且c(0, 2,求u=的最小值。【解】u=xy+xy+2=xy+2.令xy=t,那么0t=xy,设f(t)=t+,0t因为0c2,所以00,所以=例5 对于正整数a, b, c(abc)和实数x, y, z, w,假设ax=by
4、=cz=70w,且,求证:a+b=c.【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70,相加得(lga+lgb+lgc)=lg70,由题设,所以lga+lgb+lgc=lg70,所以lgabc=lg70.所以abc=70=257.假设a=1,那么因为xlga=wlg70,所以w=0与题设矛盾,所以a1.又abc,且a, b, c为70的正约数,所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.例6 x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx,求证c2=(ac)l
5、ogab.【证明】 由题设logax+logcx=2logbx,化为以a为底的对数,得,因为ac0, ac1,所以logab=logacc2,所以c2=(ac)logab.注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。3指数与对数方程的解法。解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。例7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化为=1。设f(x)= , 那么f(x)在(-,+)上是减函数,因为f(3)=1,所以方程只有一个解x=3.例8 解方程组:(其中x, yR+).【解】 两边取对数,那么原
6、方程组可化为 把代入得(x+y)2lgx=36lgx,所以(x+y)2-36lgx=0.由lgx=0得x=1,由(x+y)2-36=0(x, yR+)得x+y=6,代入得lgx=2lgy,即x=y2,所以y2+y-6=0.又y0,所以y=2, x=4.所以方程组的解为 .例9 a0, a1,试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。【解】由对数性质知,原方程的解x应满足.假设、同时成立,那么必成立,故只需解. 由可得2kx=a(1+k2), 当k=0时,无解;当k0时,的解是x=,代入得k.假设k1,所以k0,那么k21,所以0k1.综上,当k(-,-1) (
7、0, 1)时,原方程有解。三、根底训练题1命题p: “(log23)x-(log53)x(log23)-y-(log53)-y是命题q:“x+y0”的_条件。2如果x1是方程x+lgx=27的根,x2是方程x+10x=27的根,那么x1+x2=_.3f(x)是定义在R上的增函数,点A(-1,1),B(1,3)在它的图象上,y=f-1(x)是它的反函数,那么不等式|f-1(log2x)|1的解集为_。4假设log2a0,那么a 取值范围是_。5命题p: 函数y=log2在2,+)上是增函数;命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R,那么p是q的_条件。6假设0b0且a1,比较大小
8、:|loga(1-b)|_|loga(1+b).7f(x)=2+log3x, x1, 3,那么函数y=f(x)2+f(x2)的值域为_。8假设x=,那么与x最接近的整数是_。9函数的单调递增区间是_。10函数f(x)=的值域为_。11设f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa,其中n为给定正整数, n2, aR.假设f(x)在x(-,1时有意义,求a的取值范围。12当a为何值时,方程=2有一解,二解,无解?四、高考水平训练题1函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_.2不等式x2-logmx0在x时恒成立,那么m的取值范围是_.3假设xx|log2x=2-x,那么x2,
9、 x, 1从大到小排列是_.4. 假设f(x)=ln,那么使f(a)+f(b)=_.5. 命题p: 函数y=log2在2,+)上是增函数;命题q:函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R,那么p是q的_条件.6假设0b0且a1,比较大小:|loga(1-b)| _|loga(1+b)|.7f(x)=2+log3x, x1, 3,那么函数y=f(x)2+f(x2)的值域为_.8假设x=,那么与x最接近的整数是_.9函数y=的单调递增区间是_.10函数f(x)=的值域为_.11设f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa,其中n为给定正整数,n2,aR。假设f(x) 在x(
10、-,1时有意义,求a的取值范围。12当a为何值时,方程=2有一解,二解,无解?四、高考水平训练题1函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_.2不等式x2-logmx10, y10, xy=1000,那么(lgx)(lgy)的取值范围是_.7假设方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,那么实数k的取值范围是_.8函数f(x)=的定义域为R,假设关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解,那么b, c应满足的充要条件是_.(1)b0;(2)b0且c0;(3)b0且c=0;(4)b0且c=0。9f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0),那么F(x)
11、是_函数(填奇偶性).10f(x)=lg,假设=1,=2,其中|a|1, |b|1,那么f(a)+f(b)=_.11设aR,试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。12设f(x)=|lgx|,实数a, b满足0ab, f(a)=f(b)=2f,求证:(1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0;(2)3b0且a1, f(x)=loga(x+)(x1),(1)求f(x)的反函数f-1(x);(2)假设f-1(n) x1 x2 x30,都有log1993+ log1993+ log1993 klog1993恒成立,那么k的最大值为_.3实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,那么的值为_.40b1, 00450,那么以下三个数:x=(sin)logbsina, y=(cos) logbsina, z=(sin) logbsina从小到大排列为_.5用x表示不超过x的最大整数,那么方程lg2x-lgx-2=0的实根个数是_.6设a=lgz+lgx(yz)-1+1, b=lgx-1+lgxyz+1, c=lgy+lg(xyz)-1+1,记a, b, c中的最大数为M,那么M的最小值为_