1、分类讨论思想一、知识整合 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，开展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。 2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整的数学策略。 3.分类原那么：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。 4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归
2、纳小结，综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。 6.注意简化或防止分类讨论。二、例题分析例1.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，那么这直线方程为（ ） A. B. C. D. 分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a, 当a=0时，直线过原点，此时直线方程为； 当时，设直线方程为，方程为。例2 分析： 因此，只要根据条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解此题时要分类讨论。对角A进行分类。解： 这与三角形的内角和为180相矛盾。 例3.圆x2+y2=4，求经过点P（2，4），且与圆相切
3、的直线方程。 分析：容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径，待定斜率k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此此题对过点P的直线分两种情形：（1）斜率存在时，（2）斜率不存在 解（略）：所求直线方程为3x-4y+10=0或x=2例4. 分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。 解： 例5. 分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式
4、，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对x分类。 解： 例6. 分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a0或a0，令。 分析：对于等比数列的前n项和Sn的计算，需根据q是否为1分为两种情形： 故还需对q再次分类讨论。 解： 例8. 分析： 解：（1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0，表示直线； （2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线； （i）当k4时，方程表示双曲线；（ii）当4k6时
5、，方程表示椭圆； （iii）当k=6时，方程表示圆；（iv）当6k8时，方程表示双曲线。例9. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？ 分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人
6、中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人。 解： 三、总结提炼分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，那么要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。如果对于某个研究对象，假设不对其分类就不能说清楚，那么应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别情形略举以下几例：（1）“方程有实数解转化为时忽略了了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为0；（2）等比数列的前项和公式
7、中有个别情形：时，公式不再成立，而是Sn=na1。 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。(4)假设直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。【模拟试题】一. 选择题： 1. 假设的大小关系为（ ） A. B. C. D. ； 2. 假设，且，那么实数中的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 设A=（ ） A. 1B. C. D. 4. 设的值为（ ） A. 1B. 0C. 7D. 0或7 5. 一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，那么这直线方程为（ ） A. B
8、. C. D. 6. 假设（ ） A. 1B. C. D. 不能确定 7. 圆锥的母线为l，轴截面顶角为，那么过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 以上均不对 8. 函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，那么实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二. 填空题 9. 假设圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，那么圆柱的体积是_。 10. 假设，那么a的取值范围为_。 11. 与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_。 12. 在50件产品中有4件是次品，从中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有_种（用数字作答） 13. 不等式的解集为_。三.
9、 解答题： 14. 椭圆的中心在原点，集点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与此椭圆有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为3：7，求此椭圆、双曲线的方程。 15. 设a0且，试求使方程有解的k的取值范围。【试题答案】一. 选择题 1. C2. D3. D4. D5. C6. A7. D8. B 提示：1. 欲比较p、q的大小，只需先比较的大小，再利用对数函数的单调性。而决定的大小的a值的分界点为使的a值：a=1， 当a1时，此时 当即。 可见，不管a1还是0aq。 2. 假设，即 假设 可见当都有，应选（D） 3. 假设 假设，那么， 4. 由是1的7次方根，可得显然，1是1的
10、7次方根，故可能；假设，那么 应选（D） 5. 设该直线在x轴，y轴上的截距均为a, 当a=0时，直线过原点，此时直线方程为； 当时，设直线方程为，方程为 6. 由 于是总有，应选（A） 7. 当时，最大截面就是轴截面，其面积为； 当时，最大截面是两母线夹角为的截面，其面积为 可见，最大截面积为，应选（D） 8. 当时，满足题意 综上可知， 应选（B）二. 填空题 9. （提示：假设长为4的边作为圆柱底面圆周的展开图，那么；假设长为2的边作为圆柱底面圆周的展开图，那么） 10. （提示：对a分：两种情况讨论） 11. （提示：分截距相等均不为0与截距相等均为0两种情形） 12. 4186种 （
11、提示：对抽取5件产品中的次品分类讨论：（1）抽取的5件产品中恰好有3件次品；（2）抽取的5件产品中恰好有4件次品，于是列式如下：=4140+46=4186） 13. 假设，那么解集为 假设，那么解集为 （提示：设 解之得 对a分类：时， ）三. 解答题 14. 解：（1）假设椭圆与双曲线的焦点在x轴上，可设它们方程分别为 ，依题意 （2）假设焦点在y轴上，那么可设椭圆方程为 双曲线方程为，依题意有 15. 解：原方程可化为 令 那么对原方程的解的研究，可转化为对函数图象的交点的研究 以下图画出了的图象，由图象可看出 （1）当直线时，与双曲线无交点，此时即当时，原方程无解； （2）当直线图象与双曲线渐近线重合，显然直线与双曲线无交点，即当k=0时，原方程无解； （3）当直线的纵截距满足，即时，直线与双曲线总有交点，原方程有解。 综上所述，当
