1、求数列通项公式的十一种方法方法全，例子全，归纳细总述：一利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法逐差法、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法目的是去递推关系式中出现的根号、数学归纳法、不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式、特征根法二。四种根本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最根本方法。 三 求数列通项的方法的根本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。 四求数列通项的根本方法是：累加法和累乘法。 五数列的本质是一个函数，其定义域是自
2、然数集的一个函数。一、累加法 1适用于： -这是广义的等差数列 累加法是最根本的二个方法之一。2假设，那么 两边分别相加得 例1 数列满足，求数列的通项公式。解：由得那么所以数列的通项公式为。例2 数列满足，求数列的通项公式。解法一：由得那么所以解法二：两边除以，得，那么，故因此，那么练习1.数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：练习2.数列满足，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 评注：,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.假设f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;假设f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;假设f(n
3、)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;假设f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3.数列中, 且,求数列的通项公式.解:由得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,那么此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法 1.。 -适用于： -这是广义的等比数列累乘法是最根本的二个方法之二。2假设，那么两边分别相乘得，例4 数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，那么，故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列，且=1，2， 3，那么它的通项公式是=_.解：等式可化为：()(n+1), 即时，=.评注：此题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解一般情况时用求根公式得到与
4、的更为明显的关系式，从而求出.练习.,求数列an的通项公式.答案：-1.评注：此题解题的关键是把原来的递推关系式转化为假设令,那么问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于 根本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如,其中)型1假设c=1时，数列为等差数列;2假设d=0时，数列为等比数列;3假设时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设,得,与题设比拟系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以 即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数
5、列从而求得通项公式逐项相减法阶差法：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比拟复杂.例6数列中，求数列的通项公式。解法一： 又是首项为2，公比为2的等比数列 ，即解法二： 两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的练习数列中，求通项。答案：2形如： (其中q是常数，且n0,1) 假设p=1时，即：，累加即可.假设时，即：，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即： ,令，那么,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所
6、求数列构造成等差数列。 即： ,令,那么可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比拟系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否那么待定系数法会失效。例7数列满足，求数列的通项公式。解法一待定系数法：设，比拟系数得，那么数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二两边同除以： 两边同时除以得：，下面解法略解法三两边同除以： 两边同时除以得：，下面解法略练习.2023天津理设为常数，且证明对任意1，；3形如 (其中k,b是常数，且)方法1：逐项相减法阶差法方法2：待定系数法通过凑配可转化为 ; 解题根本步骤：1、确定=
7、kn+b2、设等比数列，公比为p3、列出关系式,即4、比拟系数求x,y5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例8 在数列中，求通项.逐项相减法解：， 时，两式相减得 .令,那么利用类型5的方法知 即 再由累加法可得. 亦可联立 解出.例9. 在数列中，,求通项.待定系数法解：原递推式可化为比拟系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：故.4形如 (其中a,b,c是常数，且)根本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例10 数列满足，求数列的通项公式。解：设 比拟系数得， 所以 由，得那么，故数列为以为首项，以2为公比
8、的等比数列，因此，那么。5.形如时将作为求解分析：原递推式可化为的形式，比拟系数可求得，数列为等比数列。例11 数列满足，求数列的通项公式。解：设比拟系数得或，不妨取，取-3 结果形式可能不同，但本质相同那么，那么是首项为4，公比为3的等比数列，所以练习.数列中，假设,且满足,求.答案： .四、迭代法 (其中p,r为常数)型例12 数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。注：此题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例13.2023江西卷数列，1证明 2求数列的通项公式an.解：1略2所以 又bn=1，所以.方法2：此题用归纳-猜测-证明，也很简捷，请试一
9、试.解法3：设c，那么c,转化为上面类型1来解五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p0， 例14. 设正项数列满足，n2.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，那么 是以2为公比的等比数列， ，练习 数列中，n2，求数列的通项公式. 答案：例15 数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。两边取常用对数得设同类型四比拟系数得， 由，得，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，那么，因此那么。 六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16 数列满足，求数列的通项公式。解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，七、换元法 适用于含根式的递推关系例17 数列满足，求数列
10、的通项公式。解：令，那么代入得即因为， 那么，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，那么，即，得。八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例18 数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论。1当时，所以等式成立。2假设当时等式成立，即，那么当时，由此可知，当时等式也成立。根据1，2可知，等式对任何都成立。九、阶差法逐项相减法 1、递推公式中既有，又有 分析：把关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。例19 数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项
11、公式。解：对任意有 当n=1时，解得或当n2时， -整理得：各项均为正数，当时，此时成立当时，此时不成立，故舍去所以练习。数列中, 且,求数列的通项公式.答案： 2、对无穷递推数列例20 数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得那么 故所以由，那么，又知，那么，代入得。所以，的通项公式为十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比差数列的方法不动点的定义：函数的定义域为，假设存在，使成立，那么称为的不动点或称为函数的不动点。分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。类型一：形如例21 数列中，求数列的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1，类型二：形如分析：
12、递归函数为1假设有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，2假设有两个相同的不动点p，那么将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。例22. 设数列满足,求数列的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首项为，公比为的等比数列, =, 解得.方法2：，两边取倒数得，令b，那么b,转化为累加法来求. 例23 数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，那么是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，那么。练习1：满足，求的通项答案：练习2。数列满足，求数列的通项答案：练习3.2023陕西卷文数列满足， .令，证明：是等比数列；()求的通项公式。答案：1是以1为首项，为公比的等比数列。2。十一。特征方程法 形如是常数的数列 形如是常数的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为假设有二异根，那么可令是待定常数假设有二重根，那么可令是待定常数再利用可求得，进而求得例24 数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 例25 数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，
