1、空间解析几何 一、向量代数一、向量代数 二、空间解析几何二、空间解析几何 1 1、向量的概念、向量的概念 定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.相等向量相等向量:大小相等大小相等,方向相同方向相同 负向量负向量:大小相同大小相同,方向相反方向相反 向径向径:起点为原点起点为原点 零向量零向量:模为模为0的向量的向量,方向不固定方向不固定 向量的模向量的模:向量的长度向量的长度(大小大小)单位向量单位向量:模为模为1的向量的向量 一、向量代数一、向量代数（2）向量的分解式：）向量的分解式：,zyxaaaa .,轴上的投影轴上的投影分别为向量在分别为向量在其中其中zy
2、xaaazyxkajaiaazyx在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,（3）向量的坐标表示式：）向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：zyxaaa,2 2、向量的表示法、向量的表示法 （1）有向线段）有向线段 (模和方向模和方向余弦余弦）(1)加法：cba 3 3、向量的线性运算、向量的线性运算 dba ab(2)减法：cba dba (3)(3)向量与数的乘法：向量与数的乘法：设设 是一个数，向量是一个数，向量a与与 的乘积的乘积a 规定为规定为,0)1(a 与与a同向，同向，|aa ,0)2(0 a,0)3(a 与与a反向，反向，|aa 线性运算的坐标表
3、达式线性运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()(kbajbaibazzyyxx)()()(kajaiazyx)()()(222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式 222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos(222 4 4、数量积、数量积 cos|baba 其中其中 为为a与与b的夹角的夹角 zzyyxxbabababa
4、数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 aprjbbprjaba0baaaa2运算律(1)交换律(2)结合律)(ba)()(ba)(ba)(ba(3)分配律 5、向量积向量积 定义：向量 方向:(叉积)记作 且符合右手规则 模:向量积,，的夹角为设ba,c,ac bc csinabbac称 c的与为向量babacba 几何意义：右图三角形面积 abS 性质 为非零向量,则 aa)1(0ba,)2(0baba 运算律运算律(2)分配律(3)结合
5、律 abcba)(cbcaba)()(ba)(baba)1(kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式 ba zyxzyxbbbaaakjiba ba zzyyxxbababa0ba例例 1 1 已知已知4,1,1 a，2,2,1 b，求（，求（1）ba；（；（2）a与与b的夹角；（的夹角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解 ba)1(2)4()2(111 .9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3(.3|Pr bbaajb .43 例例 2 2 求与求与kjia4
6、23 ，kjib2 都垂都垂直的单位向量直的单位向量.解解 zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj 55510|22c|0ccc .5152 kj22343cos322)2(17例例3.已知向量 的夹角 且 解：解：,43ba,2|a,3|b)()(babaaabb22cos2bbaa17ba例4.已知三点已知三点,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1(CBA角形 ABC 的面积 解解:如图所示,CBAS ABC21kji222124)(21,4,622222)6(4211421ACAB求三 x横轴横轴 y纵轴纵轴 z竖轴竖轴 定点定点 o1 1、空间直
7、角坐标系、空间直角坐标系 空间的点空间的点 有序数组有序数组),(zyx二、空间解析几何二、空间解析几何 21221221221zzyyxxMM 它们距离为它们距离为 设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为空间两点为空间两点 两点间距离公式两点间距离公式:点到平面的距离公式：点到平面的距离公式：的距离为到平面点0),(0000DCzByAxzyxM222000CBADCzByAxd（1 1）旋转曲面）旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面一周所成的曲面.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.2
8、2、曲面、曲面.),(对应对应与三元方程与三元方程空间曲面空间曲面0zyxFS方程特点方程特点:0),()2(0),()1(00),(:2222yzxfyLzyxfxLzyxfL方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线设有平面曲线设有平面曲线（2 2）柱面柱面 定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C C移动的直线移动的直线L L所形成的曲面所形成的曲面.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的的准线准线，动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线母线.从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：只
9、含只含yx,而缺而缺z的方程的方程0),(yxF，在，在空间直角坐标系中表示母线平行于空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱轴的柱面，其准线为面，其准线为xoy面上曲线面上曲线C.椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(3)二次曲面二次曲面 抛物面抛物面 zqypx2222 椭圆抛物面(p,q 同号)双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.(p,q 同号)zyx双曲面双曲面 单叶双曲面单叶双曲面 zxy),(1222222为正数cbaczbyax双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyaxzxyo3 3、
10、空间曲线、空间曲线 0),(0),(zyxGzyxF（1 1）空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx（2 2）空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 空间平面空间平面 一般式 点法式 截距式 1czbyax三点式 0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx4.4.空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程),(:000zyx点),(:CBAn 法向量特殊情形 当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示 通过原点通过原点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量 平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B
11、y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示 0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,),0(iCBn例例5.求通过求通过 x 轴和点轴和点(4,3,1)的平面方程的平面方程.解解:因平面通过 x 轴,0 DA故设所求平面方程为 0zCyB代入已知点)1,3,4(得 化简,得所求平面方程 为直线的方向向量.空间直线 一般式 对称式 参数式 0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000),(000zyx
12、),(pnms 为直线上一点;例例6.6.用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线 解解:先在直线上找一点.632zyzy再求直线的方向向量 2,0zy令 x=1,解方程组,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点.s21ns,ns21nns故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 t41x1y解题思路解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3,1,4(21nns312111kji例例7 7.求直线求直线 与平面 的交点.提示提示:化直线方程为参数方程 代入平面方程得 1t从而确定交点为（1，2，2）.t面与面的关系面与面的关系 0212121CCBBAA212121CCBBAA平面 平面 垂直:平行:夹角公式:5.5.线面之间的相互关系线面之间的相互关系 ),(,0:222222222CBAnDzCyBxA021nn2121cosnnnn,1111111pzznyymxxL：直线 0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm线与线的关系 直线 垂直:平行:夹角公式:),(1111pnms),(2222pnms 021ss2121cosssss CpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：面与线间的关系 直线:),(,0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin
