1、二、两二、两个重要极限个重要极限 第六节第六节 极限存在准则及 两个重要极限 第一章 一、极限存在准则一、极限存在准则 一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则准则 如果数列如果数列nnyx,及及nz满足下列条件满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在,且且axnn lim.说明：准则I可以推广到函数的极限 准则准则 如果当如果当)(00 xUx (或或Mx )时时,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在
2、存在,且等于且等于A.准则和准则 称为夹逼准则.注意:)()()(xhxfxg 夹逼定理示意图 A例例1 1 解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又,1 22111lim1limnnnnn ,1 由夹逼定理得由夹逼定理得.1)12111(lim222 nnnnn2.单调有界准则 满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加,121 nnxxxx单调减少 单调数列 几何解释:x1x2x3xnx1 nxMA1sincosxxx圆扇形圆扇形AOB的面积的面积 二、两二、两个重要极限个重要极限 证证:当当 即即 xsin21xtan21亦即
3、亦即 )0(tansin2xxxx),0(2x时，时，)0(2 x显然有显然有 AOB 的面积的面积 AOD的面积的面积 故有故有 OBAx1DC该极限的特征：极限为 且含有三角因子 00“”可作为公式使用 0sinlim1uuu例例3.3.求下列极限求下列极限 0sin2(1)lim xxxxxx8sin5sinlim)2(0 xxxtanlim)3(020cos1lim)4(xxx0arcsin(5)limxxxxxxsinlim )6(说明：1.以下结论也可直接作为公式使用 0tanlim1uuu0lim1sinuuu0lim1tanuuu2.应用重要极限求极限时要特别注意极限成立的条件
4、 练习：求下列极限 xxx3sin2tanlim)1(0 xxxsinarctanlim)2(01(3)lim sin xxx01(4)lim sin xxx0arcsinlim1uuu0arctanlim1uuu2.2.该极限的特征：幂指函数，极限趋势为 1可作为公式使用：1lim 1)uuue（10lim(1)uueu例例4.4.求下列极限求下列极限 xxx21lim)1(10(2)lim 1 3xxx383(3)lim 121xxx)(32lim)4(xxxx1(5)lim1+xexxxee 内容小结内容小结 (1)(1)夹夹逼准则逼准则 (2)(2)单调有界准则单调有界准则 1.1.极限存在的两个准则极限存在的两个准则 2.2.两个重要极限两个重要极限 或 注注:代表相同的表达式
