1、初等数论期末考试模拟试卷（含答案）班别_ 姓名_ 成绩_要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。6、不可以使用普通计算器等计算工具。一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果，则( ).A B C D 2、如果，则15（ ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定3、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不
2、一定4、如果,是任意整数,则A B C T D 5、如果( ),则不定方程有解.A B C D 6、整数5874192能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.2、同余式有解的充分必要条件是( ).3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果是两个正整数,则存在( )整数,使,.三、计算题(每题8分，共32分)1、求136,221,391=?2、求解不定方程.3、解同余式.4、 求,其中563是
3、素数. 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数,数是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.试卷答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素 ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果是两个正整数,则存在(
4、 唯一 )整数,使,.三、计算题(每题8分，共32分)1、 求136,221,391=?（8分）解 136,221,391=136,221,391 =1768,391 -(4分) = =104391=40664. -（4分）2、求解不定方程.（8分） 解：因为（9，21）=3，所以有解； -（2分） 化简得； -（1分）考虑，有， -（2分）所以原方程的特解为， -（1分）因此，所求的解是。 -（2分）3、解同余式. （8分）解 因为(12,45)=35,所以同余式有解,而且解的个数为3. -（1分）又同余式等价于,即. -（1分）我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),-（2分
5、）即定理4.1中的. -（1分）因此同余式的3个解为, -（1分）, -（1分）.-（1分）4、求,其中563是素数. （8分）解 把看成Jacobi符号,我们有-（3分）-（2分）,-（2分）即429是563的平方剩余. -（1分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数,数是整数. (10分) 证明 因为=, -（3分）而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -（2分）并且(2,3)=1, -（1分）所以从和有,-（3分）即是整数. -（1分）2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分） 证明 因为, -（3分）所以只需证明T.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,1,2代入分别得值1，7，1，19，7.对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 所以T -（7分）所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 -（1分）3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. （11分） 证明 设是正数,并且, -（3分）如果, -（1分）则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余, 所以只能与0,1同余, 所以, -（4分）而这与的假设不符, -（2分）即定理的结论成立. -（1分）
