1、线性代数第二学期期末测试试卷含答案班别_ 姓名_ 成绩_要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为两小时。2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。6、不可以使用普通计算器等计算工具。本题得分 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）答题要求：（每题只有一个是符合题目要求的，请将所选项填在题后的括号内，错选、多选或未选均无分）1. 行列式 的展开式中，的系数为 （ ） (A) -1 (B
2、) 2 (C) 3 (D) 42设为n阶非零矩阵，且，则 （ ） (A) (B) (C) (D) 3向量组线性无关的充要条件是 （ ） (A) 向量组不含零向量 (B) 向量组中任意两个线性无关 (C) 向量不能由向量组 线性表出 (D)任一组不全为零的数，都使4已知四阶方阵有特征值0，1，2，3，则方程组的基础解系所含解向量个数为 （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45n阶对称阵为正定矩阵的充分必要条件是 （ ）(A) (B) 等价于单位矩阵 (C) 的特征值都大于0 （D） 存在n阶矩阵，使本题得分 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）答题要求：将正确答案
3、填写在横线上1三阶行列式的展开式中，前面的符号应是 。2设为中元的代数余子式，则 。3设n阶矩阵的秩，则的伴随矩阵的元素之和 。4三阶初等矩阵的伴随矩阵为 。5若非齐次线性方程组有唯一解，则其导出组解的情况是 。6若向量组线性相关，则向量组 的线性关系是 。7设矩阵的特征多项式为，则行列式 。8如果n阶方阵的各行元素之和均为2，则矩阵必有特征值 。9设为正交矩阵，则其逆矩阵 。10二次型的正惯性指数为 。本题得分三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤）1计算n阶行列式：2.设, (1)用初等变换法求；（2）将表示为初
4、等矩阵之积。3设，且满足，求。 4化二次型为标准形，并写出可逆的线性变换。本题得分四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤）1当为何值时，方程组有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解。2. 判别向量组能否由向量组， 线性表出，并求向量组的一个极大无关组。 3设 求正交矩阵，使为对角矩阵，并写出相应的对角阵。本题得分五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，并写清证明过程）1设n阶方阵有不同的特征值，相应的特征向量分别是，证明：当全不为零时，线性组合不是的特征向
5、量。2. 设n维列向量组线性相关，为n阶方阵，证明：向量组线性相关。 附：线性代数（A卷）答案要点及评分标准一选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1B； 2A； 3D； 4A； 5C.二填空题（共10小题，每题2分，共计20分）1负号； 21； 30； 4或； 5唯一解（或只有零解）； 6线性相关； 7-27； 82； 9； 103.三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1、解：按照第一行展开得到 8分2、解：（1） 2分 所以 5分（2） 8分3、解：方法一：由, 得到， 2分 5分所以，可逆，=. 8分方法二：由, 得到， 2分用初等行变换求 6分所以，可逆， =. 8分4
6、、 = 6分令 即可逆线性变换为. 8分四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分）1、解：由方程组有无穷多组解，所以，故 4分 原方程组等价于方程组取，得到特解 7分令，分别代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为，方程组的全部解为 其中为任意常数 10分2、解：初等行变换矩阵到行最简梯矩阵为 6分可得到能由线性表示，且向量组的一个极大无关组为 10分3、解： 4分得到矩阵的全部特征值为当时，由得一个基础解系正交化,单位化， 7分当时，由的一个基础解 将其单位化得 9分则正交阵，相应的对角阵为 10分五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1、证明： 因为 而所以 不是的特征
7、向量. 4分2、证明：由线性相关，根据定义，存在不全为0的，使得，用矩阵左乘等号两边得到 不全为0，根据线性相关的定义得到向量组线性相关. 4分线性代数第二学期期末测试试卷含答案班别_ 姓名_ 成绩_第一部分 客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分）1. 若行列式，则等于 ( )(A) (B) (C) (D) 2. 设，是中元素的余子式，则=（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 33. 设为阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ）(A) (B) (C) (D) 4. 初等矩阵满足（ ）(A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵(C)
8、 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为15. 下列不是阶矩阵可逆的充要条件为（ ）(A) (B) 可以表示成有限个初等阵的乘积(C) 伴随矩阵存在 (D) 的等价标准型为单位矩阵6. 设为矩阵，为阶可逆矩阵，则 ( )。(A) 秩() 秩() (B) 秩()= 秩()(C) 秩() 秩() (D) 秩()与秩()的关系依而定7. 如果向量可由向量组线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数，使得 成立 (B) 存在一组全为零的数，使得 成立 (C) 存在一组数，使得 成立(D) 对的线性表达式唯一8. 设是齐次线性方程组的解，是非齐次线性方程组的解，则（ ）(A)
9、 为的解 (B) 为的解 (C) 为的解 (D) 为的解 9. 设,则的特征值是( )。(A) (B) (C) (D) 10. 若阶方阵与某对角阵相似，则 ( )。(A) (B) 有个互不相同的特征值(C) 有个线性无关的特征向量 (D) 必为对称矩阵二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B.11. 设和为阶方阵，则有。（ ）12. 当为奇数时，阶反对称矩阵是奇异矩阵。（ ）13. 设为同阶方阵，则。（ ）14. 若矩阵有一个阶子式，且中有一个含有的阶子式等于零，则的秩等于。（ ）15. 若非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解。（ ）16 若向
10、量组线性无关，则向量组线性无关。（ ）17. 等价的向量组的秩相等。（ ）18. 设与都是阶正交矩阵，则也是正交矩阵。（ ）19. 矩阵不同特征值对应的特征向量必线性无关。（ ）20. 两个相似的方阵必等价，两个合同的方阵也必等价。（ ） 第二部分 主观题（共70分）题 号得 分三、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）1在5阶行列式中，的符号是 2若为3阶方阵，为的逆矩阵且，则 .3.线性方程组 仅有零解的充要条件是 .4.已知三阶矩阵的特征值为，则 .5实二次型，当 时，其秩为2.。题 号得 分四、计算题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）1. 计算4阶行列式 2. 已知向量组线性相关，求3. 设，用施密特正交化法将该向量组正交化。题 号得 分五、计算题（二
