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大学数学近世代数期末模拟试题练习和答案.docx

上传人:sc****y 文档编号:89579 上传时间:2023-02-19 格式:DOCX 页数:13 大小:330.96KB
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资源描述

1、近 世 代 数 试 卷一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“”,错的打“”;每小题1分,共10分)1、设与都是非空集合,那么。 ( f )2、设、都是非空集合,则到的每个映射都叫作二元运算。( f ) 3、只要是到的一一映射,那么必有唯一的逆映射。 ( t )4、如果循环群中生成元的阶是无限的,则与整数加群同构。 (t )5、如果群的子群是循环群,那么也是循环群。 ( f )6、群的子群是不变子群的充要条件为。 ( t )7、如果环的阶,那么的单位元。 ( t )8、若环满足左消去律,那么必定没有右零因子。 ( t )9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。 ( f )10、

2、若域的特征是无限大,那么含有一个与同构的子域,这里是整数环,是由素数生成的主理想。 ( f )二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分)1、设和都是非空集合,而是到的一个映射,那么( 2 )集合中两两都不相同;的次序不能调换;中不同的元对应的象必不相同;一个元的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算( 3 )4在整数集上,; 在有理数集上,;在正实数集上,;在集合上,。3、设是整数集上的二元运算,其中(即取与中的最大者),那么在中( 4 )3不适合交换律;不适合结合律;存在单位元;每个元

3、都有逆元。4、设为群,其中是实数集,而乘法,这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是( 4 )0和; 1和0; 和; 和。5、设和都是群中的元素且,那么( 2 )1; ; ; 。6、设是群的子群,且有左陪集分类。如果6,那么的阶( 3 )26; 24; 10; 12。7、设是一个群同态映射,那么下列错误的命题是(2 )4的同态核是的不变子群; 的不变子群的逆象是的不变子群;的子群的象是的子群; 的不变子群的象是的不变子群。8、设是环同态满射,那么下列错误的结论为( 4 )3若是零元,则是零元; 若是单位元,则是单位元;若不是零因子,则不是零因子;若是不交换的,则不交换。9、下列正确

4、的命题是( 4 )1欧氏环一定是唯一分解环; 主理想环必是欧氏环;唯一分解环必是主理想环; 唯一分解环必是欧氏环。10、若是域的有限扩域,是的有限扩域,那么(1 )4; ; 。三、填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分。每空1分,共10分)1、设集合;,则有 。2、如果是与间的一一映射,是的一个元,则 a 。3、设集合有一个分类,其中与是的两个类,如果,那么 0 。4、设群中元素的阶为,如果,那么与存在整除关系为 。5、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。6、给出一个5-循环置换,那么 。7、若是有单位元的环的由生成的主理想,那么中的元素可以表达为 x 。8、

5、若是一个有单位元的交换环,是的一个理想,那么是一个域当且仅当是 一个最大理想 。9、整环的一个元叫做一个素元,如果 、p既不是零元,也不是单位,且q只有平凡因子 。10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域,如果 。四、改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分,更正错误2分。每小题3分,共15分)1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律,那么在里,元的次序可以掉换。 结合律与交换律 2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合作成一个群,如果满足对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。 消去律成立 3、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那

6、么。 S=I或S=R 4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子,若和都是和的最大公因子,那么必有。 一定有最大公因子;d和d只能差一个单位因子 5、叫做域的一个代数元,如果存在的都不等于零的元使得。 不都等于零的元 五、计算题(共15分,每小题分标在小题后)1、给出下列四个四元置换组成的群,试写出的乘法表,并且求出的单位元及和的所有子群。2、设是模6的剩余类环,且。如果、,计算、和以及它们的次数。六、证明题(每小题10分,共40分)1、设和是一个群的两个元且,又设的阶,的阶,并且,证明:的阶。2、设为实数集,令,将的所有这样的变换构成一个集合,试证明:对于变换普通的乘法,作成一个群。3、设

7、和为环的两个理想,试证和都是的理想。4、设是有限可交换的环且含有单位元1,证明:中的非零元不是可逆元就是零因子。 近世代数试卷参考解答一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题1、。 2、。 3、。 4、。 5、变换群。 6、。 7、。 8、一个最大理想。9、p既不是零元,也不是单位,且q只有平凡因子。10、E的每一个元都是F上的一个代数元。四、改错题1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律,那么在里,元的次序可以掉换。结合律与交换律 2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合作成一个群,如果满足对于乘

8、法封闭;结合律成立、交换律成立。消去律成立 3、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么。S=I或S=R4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子,若和都是和的最大公因子,那么必有d=d。一定有最大公因子;d和d只能差一个单位因子5、叫做域的一个代数元,如果存在的都不等于零的元使得。不都等于零的元测验题一、 填空题(42分)1、设集合与分别有代数运算与,且,则当 满足结合律 时,也满足结合律;当 满足交换律 时,也满足交换律。2、对群中任意元素= ;3、设群G中元素a的阶是n,n|m则= e ;4、设是任意一个循环群,若,则与 整数加群 同构;若,则与 n次单位根群; 同构;5、设G=为6阶

9、循环群,则G的生成元有 ; ;子群有 ;6、n次对称群的阶是 n!; ;置换的阶是 4 ;7、设,则 7、 ;8、设,则 ;9、设H是有限群G的一个子群,则|G|= |H|:(G:H) ;10、任意一个群都同一个 双射)变换群; 同构。二、证明题(24)1.设G为n阶有限群,证明:G中每个元素都满足方程。1、已知,|a|=k,则k|n令n=kq,则即G中每个元素都满足方程1、 叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件,并证明群G的任意两个子群H与K的交仍然是G的一个子群。2、 证明:如果群G中每个元素都满足方程,则G必为交换群。三、解答题(34)1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运

10、算作成群。2、写出三次对称群的所有子群并写出关于子群H=(1),(23)的所有左陪集和所有右陪集。 基础测试参考答案:一、 填空题1、满足结合律; 满足交换律;2、;3、e;4、整数加群;n次单位根群;5、;6、n!;47、8、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、(双射)变换群;二、证明题1、已知,|a|=k,则k|n令n=kq,则即G中每个元素都满足方程2、充要条件:;证明:已知H、K为G的子群,令Q为H与K的交设,则H是G的子群,有K是G的子群,有综上所述,H也是G的子群。3、证:G是交换群。三、解答题1、解:设G是一个非空集合,是它的一个代数运算,如果满足以下条件:(1)结合律

11、成立,即对G中任意元素(2)G中有元素e,它对G中每个元素(3)对G中每个元素则G对代数运算作成一个群。对任意整数a,b,显然a+b+4由a,b唯一确定,故为G的代数运算。(ab)c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8a (bc)=a+b+c+8即(ab)c= a (bc)满足结合律a均有(-4)a=-4+a+4=a故-4为G的左单位元。(-8-a)a=-8-a+a+4=-4故-8-a是a的左逆元。2、解:其子群的阶数只能是1,2,3,61阶子群(1)2阶子群(1)(12)(1)(13)(1)(23)3阶子群(1)(123)(132)6阶子群左陪集:(1)H=(1)(23)=(23)H(12)H=(12)(123)=(123)H(13)H=(13)(132)=(132)H右陪集:H(1)=(1)(23)=H(23)H(13)=(13)(23)=H(123)H(12)=(12)(132)=H(132)近世代数模拟试题一、 单项选择题1、设G 有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集( )是子群。A、 B、 C、 D、2、下面的代数系统(G,*)中,( )不是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法 C、G为有理数集合,*为加法 D、G为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的?( )

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