1、2 超几何分布超几何分布 第二章第二章 概概 率率 学习导航学习导航 第二章第二章 概概 率率 学习目标学习目标 1.理解超几何分布及其推导过程理解超几何分布及其推导过程(难点难点)2能能 运运 用用 超超 几几 何何 分分布解布解决决一些一些 实际实际 问问题题(重点重点)学法指导学法指导 1.超几何分布超几何分布是是一个一个应用应用广广泛泛 的的概概率率 模型模型,超超几何分布列给出了求解这类问题的几何分布列给出了求解这类问题的方方法法,即即可以通过公式直接求解可以通过公式直接求解，简简单单且且 不不 易易出出错错，但不能机械地去记忆公式但不能机械地去记忆公式，要要在在 理解理解的前提下记
2、忆，注意的前提下记忆，注意理理解超解超几几何何 分分布公式布公式中各字母的含义中各字母的含义 第二章第二章 概概 率率 学法指导学法指导 2许多不放回抽样的实许多不放回抽样的实际问际问题题，可可 以以 通通 过过化归为超几何分布化归为超几何分布，并运用它简捷并运用它简捷求求 解解凡凡类似于类似于“在含有在含有次次 品品 的产的产 品中品中取部分产取部分产品品,问问所取出的产品中次品件数所取出的产品中次品件数”的问的问 题题，都属都属于超几何分布的模型于超几何分布的模型.栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 超几何分布超几何分布 一般地一般地，设有设有 N 件产品件产品，其中有其中有 M(
3、MN)件次品从中件次品从中任取任取 n(nN)件产品件产品，用用 X表示取出的表示取出的 n 件产品中次品的件产品中次品的件数件数，那么那么 P(Xk)_(其中其中 k 为非负整数为非负整数)如果一个随机变量的分布列由上式确定如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称则称 X服从参数服从参数为为 N，M，n 的的_ 超几何分布超几何分布 CkMCnkNMCnN 栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 1一个袋子里装有一个袋子里装有 4 个白球个白球，5 个黑球和个黑球和 6 个黄球个黄球，从中任从中任取取 4 个球个球，则含有则含有 3 个黑球的概率为个黑球的概率为()A.20273 B.1
4、0273 C.2091 D.1091 解析：解析：由条件知由条件知，随机变量随机变量 X服从服从 N15，M5，n4 的超的超几何分布几何分布，所以所以 P(X3)C35C110C41520273.A 栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 2在在 15 个村庄中有个村庄中有 7 个村庄交通不方便个村庄交通不方便，现从中任意选现从中任意选10 个村庄个村庄，用用 X表示这表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于下列概率等于C47C68C1015的是的是()AP(X2)BP(X2)CP(X4)DP(X4)解析：解析：此为一个超几何分布问题此为一个超几何
5、分布问题.15 个村庄中有个村庄中有 7 个村庄交通个村庄交通不方便不方便，8 个村庄交通方便个村庄交通方便，C47C68表示选出的表示选出的 10 个村庄中恰有个村庄中恰有4 个交通不方便个交通不方便，6 个交通方便的村庄个交通方便的村庄，故故 P(X4)C47C68C1015.C 栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 3 生产方提供生产方提供 50箱的一批产品箱的一批产品，其中有其中有 2箱不合格产品 采箱不合格产品 采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取 5 箱产品箱产品进行检测进行检测，若至多有一箱若至多有一箱不合格产品不合格产品，
6、便接便接收该批产品，收该批产品，则该批产品被接收的概率是则该批产品被接收的概率是_ 解析：设解析：设 5 箱产品中不合格的箱数为箱产品中不合格的箱数为 Z，由题意得由题意得，该批该批产品被接收的概率为：产品被接收的概率为：P(Z1)P(Z0)P(Z1)C02C548C550C12C448C550243245，即该批产品被接收的概率是即该批产品被接收的概率是243245.243245 栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 超几何分布列超几何分布列 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生名男生,4名女生，从中选出名女生，从中选出4人参加数学竞赛考
7、试，用人参加数学竞赛考试，用X表示其表示其 中的男中的男生人数求生人数求X的分布列的分布列 (链接教材链接教材P39例例1)栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 解解 依题意随机变量依题意随机变量 X 服从超几何分布服从超几何分布，所以所以 P(Xk)Ck6C4k4C410(k0，1，2，3，4)P(X0)C06C44C4101210，P(X1)C16C34C410435，P(X2)C26C24C41037，P(X3)C36C14C410821，P(X4)C46C04C410114，栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 X的分布列为的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1210
8、435 37 821 114 栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 方法归纳方法归纳 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否满解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否满 足超足超 几何分几何分布布,如果满足超几何分布的条件如果满足超几何分布的条件,则直接利用超几何分布概率公则直接利用超几何分布概率公式来解式来解当然当然,本例也可通过古典概型解决本例也可通过古典概型解决,但利用超几何分布但利用超几何分布概率公式简化了对题目的具体分析概率公式简化了对题目的具体分析，因此要简单一些因此要简单一些 栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 利用超几何分布模型求相应事件的概率利用超几何分布模型
9、求相应事件的概率 在一个口袋中有在一个口袋中有30个球个球,其中红球其中红球10个个,其余为白球，这其余为白球，这些球除颜色不同外完全相同游戏者一次从中摸出些球除颜色不同外完全相同游戏者一次从中摸出5个球，摸个球，摸到到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率有多大？个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率有多大？(链接教材链接教材P40例例2)栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 解解 法一：设法一：设“中一等奖中一等奖”为事件为事件 A，则则 P(A)C410C120C5300.029.即获一等奖的概率约为即获一等奖的概率约为 0.029.法二：设法二：设 X 为摸到红球的个数为摸到红球的
10、个数，则则 X 服从参数为服从参数为 N30，M10，n5 的超几何分布的超几何分布 由题意由题意知知，X 的所有可能取值为的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，则则 X 的分的分布列为布列为 P(Xk)Ck10C5k20C530(k0，1，2，3，4，5)P(X4)C410C120C5300.029.即获一等奖的概率约为即获一等奖的概率约为 0.029.栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 方法归纳方法归纳 学习超几何分布学习超几何分布，要与古典概型和排列组合知识结合起要与古典概型和排列组合知识结合起来在古典概型来在古典概型中中，基本事件总数为，基本事件总数为 n，事件事件 A包含
11、的基包含的基本事件个数为本事件个数为 m，则则 P(A)mn，它与超几何分布列中的它与超几何分布列中的P(Xk)CkMCnkNMCnN是一致的在一些复杂的问题中求概是一致的在一些复杂的问题中求概率时率时，就会体现出直接用公式的方便了就会体现出直接用公式的方便了 栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 1.袋中有袋中有 7 个球个球，其中其中 3 个黑球、个黑球、4 个红球个红球，从袋中任取从袋中任取 3个球个球，求取出的求取出的红球数红球数 X的分布列的分布列，并求至少有一个红球并求至少有一个红球的概率的概率 解：解：X0，1，2，3，X0 表示取出的三个球全是黑球表示取出的三个球全是黑球
12、，P(X0)C33C37135.栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 同理同理 P(X1)C14C23C371235，P(X2)C24C13C371835，P(X3)C34C37435.X的分布列为：的分布列为：X 0 1 2 3 P 135 1235 1835 435 至少有一个红球的概率为至少有一个红球的概率为 P(X1)11353435.栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 超几何分布的综合问题超几何分布的综合问题(链接教材链接教材P42习题习题22 T2)现有来自甲、乙两班的学生共现有来自甲、乙两班的学生共 7 名名，从中任选从中任选 2 名都名都是甲班的概率为是甲班的概率
13、为17.(1)求求 7 名学生中甲班的学生数；名学生中甲班的学生数；(2)设所选设所选 2 名学生中甲班的学生数为名学生中甲班的学生数为 X，求求 X的分布列的分布列，并求甲班学生数不少于并求甲班学生数不少于 1 人的概率人的概率 栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 解解 (1)设甲班的学生数为设甲班的学生数为 n，由题意得由题意得，17C2nC27n（n1）2762n（n1）76，整理得整理得 n2n60，解得解得 n3 或或 n2(舍去舍去)即即 7 个学生中个学生中，有甲班有甲班 3 人人 栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率(2)由题意知由题意知 X服从参数服从参数 N7
14、，M3，n2 的超几何分布的超几何分布，其中其中 X 的所有可能取值为的所有可能取值为 0，1，2.P(Xk)Ck3C2k4C27(k0，1，2)P(X0)C03C24C2762127，P(X1)C13C14C27122147，P(X2)C23C04C2732117.栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 X的分布列为的分布列为 X 0 1 2 P 27 47 17 由分布列知由分布列知 P(X1)P(X1)P(X2)471757.即所选两人中甲班学生数不少于即所选两人中甲班学生数不少于 1 人的概率为人的概率为57.栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 方法归纳方法归纳 解决本题时
15、应注意以下几点：解决本题时应注意以下几点：(1)通过古典概型概率公式列出方程求出甲班学通过古典概型概率公式列出方程求出甲班学 生数是整个题生数是整个题目的关键点目的关键点，体现了方程思想与概率知识的结合；体现了方程思想与概率知识的结合；(2)分析题意分析题意，得出得出X服从超几何分服从超几何分 布是第二布是第二 问的问的 切入点切入点，比比利用古典概型求解要简单一些；利用古典概型求解要简单一些；(3)概率知识与其他知识的结合在各地概率知识与其他知识的结合在各地 模拟题及高考题中已有模拟题及高考题中已有出现出现，这将成为一个热点这将成为一个热点 栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 2.某
16、商场为减少库存，加快资金周转，特举某商场为减少库存，加快资金周转，特举 行一次行一次 购物购物 抽奖抽奖活动，此次活动共设奖券活动，此次活动共设奖券100张，其中一等张，其中一等 奖奖奖奖 券券5张，可获张，可获得价值得价值100元的购物券；二等奖奖券元的购物券；二等奖奖券10张，可获价值张，可获价值50元的购元的购物券；三等奖奖券物券；三等奖奖券15张，可获价值张，可获价值10元的奖品；其元的奖品；其 余奖余奖 券无券无奖，某顾客从此奖，某顾客从此100张奖券中任取张奖券中任取2张，求：张，求：(1)该顾客中奖的概率；该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得奖券该顾客获得奖券总价总价 值值 X元元 的分的分 布列，并求布列，并求P(5X120)的值的值 栏目导栏目导引引 第二章第二章 概概 率率 解：解：(1)从从 100 张奖券中任取张奖券中任取 2 张共有张共有 C2100种结果种结果，令令 A“该顾客中奖该顾客中奖”，则则A“该顾客没有中奖该顾客没有中奖”P(A)1P(A)1C270C21001161330169330.即顾客中奖的概率为即顾客中奖的概率为169330.栏目导栏目导引
