1、线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 第三章第三章 矩阵的初等变换及线性方程组矩阵的初等变换及线性方程组 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元用消元法解二元(一次一次)线性方程组线性方程组:第一章第一章 行列式行列式 22221211212111bxaxabxaxa(1)(2)(1)a22:a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)a12:a12a21x1+a12a22x2=b2a12,两式相减消
2、去两式相减消去x2,得得(a11a22 a12a21)x1=b1a22 b2a12;1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表的数表)4(2221121
3、1aaaa定义定义)5(42221121121122211aaaaaaaa行列式，并记作行列式，并记作）所确定的二阶）所确定的二阶称为数表（称为数表（表达式表达式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 11a12a22a12a主对角线主对角线 副对角线副对角线 对角线法则对角线法则 2211aa.2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算 若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组 系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .
4、,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx 例例1 1 .12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解 1223 D)4(3 ,07 11
5、2121 D,14 121232 D,21 DDx11,2714 DDx22.3721 二、三阶行列式 定义定义 333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有记记,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式.323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙
6、路法 三阶行列式的计算三阶行列式的计算 322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD .列标列标 行标行标 333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa(2)(2)对角线法则对角线法则 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号 说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 322113aaa 312312a
7、aa 312213aaa 332112aaa 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式 333231232221131211aaaaaaaaaD ,0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为 负负.;,333323213123232221211313212111bxa
8、xaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若记若记 333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 记记,3332323222131211aabaabaabD 即即 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123
9、232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221
10、112113baabaabaaD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式例例 解解 按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 .094321112 xx求解方程求解方程例例3
11、 3 解解 方程左端方程左端 1229184322 xxxxD,652 xx解得解得由由052 xx3.2 xx或或例例4 4 解线性方程组解线性方程组 .0,132,22321321321xxxxxxxxx解解 由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式 111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 ,0 同理可得同理可得 1103111221 D,5 1013121212 D,10 0111122213 D,5 故方程组的解为故方程组的解为:,111 DDx,222 DDx.133 DDx 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三
12、元线性方 程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则 二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小结 思考题思考题 使使求一个二次多项式求一个二次多项式,xf .283,32,01 fff思考题解答思考题解答 解解 设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为 ,2cbxaxxf 由题意得由题意得 ,01 cbaf ,3242 cbaf ,28393 cbaf得一个关于未知数得
13、一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,cba,又又,020 D.20,60,40321 DDD得得,21 DDa,32 DDb13 DDc故所求多项式为故所求多项式为 .1322 xxxf1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 引例引例:用用1,2,3三个数字三个数字,可以组成多少个没有重可以组成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？这是一个大家熟知的问题这是一个大家熟知的问题,答案是答案是:3!=6.将此问题将此问题推广推广:把把n个不同的元素按先后次序排成个不同的元素按先后次序排成一列一列,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.定义定义:把把 n 个不同的元素排成一列个不同
14、的元素排成一列,叫做这叫做这 n 个个元素的元素的全排列全排列(或或排列排列).n 个不同的元素的所有排列的种数个不同的元素的所有排列的种数,通常用通常用 Pn 表表示示,称为称为排列数排列数.Pn=n (n1)(n2)2 1=n!一、全排列一、全排列 二、排列的逆序数二、排列的逆序数 定义定义:在一个排列在一个排列 i1 i2 is it in 中中,若数若数 isit,则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.例如例如:排列排列32514 中中,我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序.以以 n 个不个不同的自然数为例同的自然数为例,规定规定由小到大为标准次
15、序由小到大为标准次序.3 2 5 1 4 逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 定义定义:一个排列中所有一个排列中所有逆序逆序的总数称为此的总数称为此排列的排列的逆序数逆序数.前面的数比前面的数比后面的数大后面的数大 3 2 5 1 4 逆序数为逆序数为3 1 010故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为:3+1+0+1+0=0+1+0+3+1=5.例如例如:排列排列32514 中中,计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法 逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.方法方法1:分别计算出排在分别计算出排在1,2,n 前面比它大的
16、数前面比它大的数码的个数并求和码的个数并求和,即先分别算出即先分别算出 1,2,n 这这 n 个元素个元素的逆序数的逆序数,则所有元素的逆序数的总和即为所求排列则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数的逆序数.方法方法2:依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素前面比它大前面比它大的的数码的个数并求和数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法方法3:依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素后面比它小后面比它小的的数码的个数并求和数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例例1:求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解:在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,则则3的逆序为的逆序为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故故2的逆序为的逆序为1;3 2 5 1 4 01031没有比没有比5大的
