1、2023高中数学竞赛标准讲义:第七章:解三角形一、根底知识在本章中约定用A,B,C分别表示ABC的三个内角,a, b, c分别表示它们所对的各边长,为半周长。1正弦定理:=2R(R为ABC外接圆半径)。推论1:ABC的面积为SABC=推论2:在ABC中,有bcosC+ccosB=a.推论3:在ABC中,A+B=,解a满足,那么a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论1,由正弦函数定义,BC边上的高为bsinC,所以SABC=;再证推论2,因为B+C=-A,所以sin(B+C)=sinA,即sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以2R得bco
2、sC+ccosB=a;再证推论3,由正弦定理,所以,即sinasin(-A)=sin(-a)sinA,等价于cos(-A+a)-cos(-A-a)= cos(-a+A)-cos(-a-A),等价于cos(-A+a)=cos(-a+A),因为0-A+a,-a+A. 所以只有-A+a=-a+A,所以a=A,得证。2余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,下面用余弦定理证明几个常用的结论。(1)斯特瓦特定理:在ABC中,D是BC边上任意一点,BD=p,DC=q,那么AD2= (1)【证明】 因为c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos,所以c2=AD2+p2-2ADpcos 同理b2=AD
3、2+q2-2ADqcos, 因为ADB+ADC=,所以cosADB+cosADC=0,所以q+p得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即AD2=注:在(1)式中,假设p=q,那么为中线长公式(2)海伦公式:因为b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 (b+c)-a2a2-(b-c) 2=p(p-a)(p-b)(p-c).这里所以SABC=二、方法与例题1面积法。例1 (共线关系的张角公式)如下列图,从O点发出的三条射线满足,另外OP,OQ,OR的长分别为u, w, v,这里,+(0, ),那么P,Q,R的共线的充要条件是【证明】P,Q,R共线(+)=uwsi
4、n+vwsin,得证。2正弦定理的应用。例2 如下列图,ABC内有一点P,使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证:APBC=BPCA=CPAB。【证明】 过点P作PDBC,PEAC,PFAB,垂足分别为D,E,F,那么P,D,C,E;P,E,A,F;P,D,B,F三组四点共圆,所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。所以EDF=600,同理DEF=600,所以DEF是正三角形。所以DE=EF=DF,由正弦定理,CDsin
5、ACB=APsinBAC=BPsinABC,两边同时乘以ABC的外接圆直径2R,得CPBA=APBC=BPAC,得证:例3 如下列图,ABC的各边分别与两圆O1,O2相切,直线GF与DE交于P,求证:PABC。【证明】 延长PA交GD于M,因为O1GBC,O2DBC,所以只需证由正弦定理,所以另一方面,所以,所以,所以PA/O1G,即PABC,得证。3一个常用的代换:在ABC中,记点A,B,C到内切圆的切线长分别为x, y, z,那么a=y+z, b=z+x, c=x+y.例4 在ABC中,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.【证明】 令a=y+z, b
6、=z+x, c=x+y,那么abc=(x+y)(y+z)(z+x)=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.4三角换元。例5 设a, b, cR+,且abc+a+c=b,试求的最大值。【解】 由题设,令a=tan, c=tan, b=tan,那么tan=tan(+), P=2sinsin(2+)+3cos2,当且仅当+=,sin=,即a=时,Pmax=例6 在ABC中,假设a+b+c=1,求证: a2+b2+c2+4abc【证明】 设a=
7、sin2cos2, b=cos2cos2, c=sin2, .因为a, b, c为三边长,所以c|a-b|,从而,所以sin2|cos2cos2|.因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sin2cos2+sin2cos2cos4cos2=1-cos22+(1-cos22)cos4cos2=+cos2(cos4-cos22cos4-cos2)+cos2(cos4-sin4-cos2)=.所以a2+b2+c2+4abcb是“sinAsin
8、B的_条件.6在ABC中,sinA+cosA0, tanA-sinA1,那么ABC为_角三角形.11三角形有一个角是600,夹这个角的两边之比是8:5,内切圆的面积是12,求这个三角形的面积。12锐角ABC的外心为D,过A,B,D三点作圆,分别与AC,BC相交于M,N两点。求证:MNC的外接圆半径等于ABD的外接圆半径。13ABC中,sinC=,试判断其形状。四、高考水平训练题1在ABC中,假设tanA=, tanB=,且最长边长为1,那么最短边长为_.2nN+,那么以3,5,n为三边长的钝角三角形有_个.3p, qR+, p+q=1,比较大小:psin2A+qsin2B_pqsin2C.4在
9、ABC中,假设sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC,那么ABC 为_角三角形.5假设A为ABC 的内角,比较大小:_3.6假设ABC满足acosA=bcosB,那么ABC的形状为_.7满足A=600,a=, b=4的三角形有_个.8设为三角形最小内角,且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1,那么a的取值范围是_.9A,B,C是一段笔直公路上的三点,分别在塔D的西南方向,正西方向,西偏北300方向,且AB=BC=1km,求塔与公路AC段的最近距离。10求方程的实数解。11求证:五、联赛一试水平训练题1在ABC中,b2=ac,那么sinB+cosB的取值范围
10、是_.2在ABC中,假设,那么ABC 的形状为_.3对任意的ABC,-(cotA+cotB+cotC),那么T的最大值为_.4在ABC中,的最大值为_.5平面上有四个点A,B,C,D,其中A,B为定点,|AB|=,C,D为动点,且|AD|=|DC|=|BC|=1。记SABD=S,SBCD=T,那么S2+T2的取值范围是_.6在ABC中,AC=BC,O为ABC的一点,ABO=300,那么ACO=_.7在ABC中,ABC,那么乘积的最大值为_,最小值为_.8在ABC中,假设c-a等于AC边上的高h,那么=_.9如下列图,M,N分别是ABC外接圆的弧,AC中点,P为BC上的动点,PM交AB于Q,PN
11、交AC于R,ABC的内心为I,求证:Q,I,R三点共线。10如下列图,P,Q,R分别是ABC的边BC,CA,AB上一点,且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证:AB+BC+CA2(PQ+QR+RP)。11在ABC外作三个等腰三角形BFC,ADC,AEB,使BF=FC,CD=DA,AE=EB,ADC=2BAC,AEB=2ABC,BFC=2ACB,并且AF,BD,CE交于一点,试判断ABC的形状。六、联赛二试水平训练题1等腰ABC,AB=AC,一半圆以BC的中点为圆心,且与两腰AB和AC分别相切于点D和G,EF与半圆相切,交AB于点E,交AC于点F,过E作AB的垂线,过F作AC的垂线,两垂线相
12、交于P,作PQBC,Q为垂足。求证:,此处=B。2设四边形ABCD的对角线交于点O,点M和N分别是AD和BC的中点,点H1,H2(不重合)分别是AOB与COD的垂心,求证:H1H2MN。3ABC,其中BC上有一点M,且ABM与ACM的内切圆大小相等,求证:,此处(a+b+c), a, b, c分别为ABC对应三边之长。4凸五边形ABCDE,其中ABC=AED=900,BAC=EAD,BD与CE交于点O,求证:AOBE。5等腰梯形ABCD,G是对角线BD与AC的交点,过点G作EF与上、下底平行,点E和F分别在AB和CD上,求证:AFB=900的充要条件是AD+BC=CD。6AP,AQ,AR,AS是同一个圆中的四条弦,PAQ=QAR=RAS,求证:AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS)。7一凸四边形的边长依次为a, b, c, d,外接圆半径为R,如果a2+b2+c2+d2=8R2,试问对此四边形有何要求?8设四边形ABCD内接于圆,BA和CD延长后交于点R,AD和BC延长后交于点P,A,B,C指的都是ABC的内角,求证:假设AC与BD交于点Q,那么9设P是ABC内一点,点P至BC,CA,AB的垂线分别为PD,PE,PF(D,E,F是垂足),求证:PAPBPC(PD+PE)(PE+PF)(PF+PD),并讨论等号成立之条件。