1、5.3平面向量的数量积一、明确复习目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 掌握向量垂直的条件;2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题. 二建构知识网络1两个向量的数量积：(1)设两个非零向量与,称AOB=为向量与的夹角， (001800)，当非零向量与同方向时，=00，当与反方向时=1800，与其它非零向量不谈夹角问题2数量积的定义：=cos, 叫做与的数量积; 规定,其中cosR，叫向量在方向上的投影.2.数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积.3平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：乘法公式成立： ；特别注意：1结合律不
2、成立：；2消去律不成立不能得到3=0不能得到=或=4两个向量的数量积的坐标运算：，那么=5向量数量积的性质：1O2当与同向时，当与反向时，一般地 特别地：向量运算与模的转化。3求夹角：cos=假设那么夹角为锐角或00; 假设那么夹角为钝角或1800.4。三、双基题目练练手12023北京假设与都是非零向量，那么“是“的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 ( )C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2(2023江西)向量=(1,2),=(-2,-4)，|=假设那么与的夹角为 A30B60 C120 D1503(2023陕西) 非零向量与满足(+)=0且= , 那么ABC为 ( )A 三边均不相
3、等的三角形 B 直角三角形C 等腰非等边三角形 D 等边三角形4 (2023浙江)向量，|1，对任意tR，恒有|t|，那么 ( )A. B. () C.() D. ()()5与向量的夹角相等，且模为1的向量=_6. 且关于的方程有实根, 那么与的夹角的取值范围是_ 7.(2023天津)设向量与的夹角为，且，那么_8.(2023天津)设函数，点表示坐标原点，点，假设向量，是与的夹角，其中，设，那么= 简答:1-4.CCDC; 4.利用图形分析, 5.或 ; 6.; 7. ; 8.1.四、经典例题做一做【例1】向量的夹角为钝角,求m的取值范围.解:夹角为钝角那么解得又当时,m的取值范围是【例2】两
4、单位向量与的夹角为，假设，试求与的夹角。解：由题意，且与的夹角为所以，同理可得 而，设为与的夹角，那么 【例3】向量,且满足关系,(k为正实数).(1)求证:;(2)求将表示为k的函数f(k).(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时的夹角.解(1)证明: (2)(3)当且仅当即k=1时,故f(x)的最小值是此时【例4】如图，四边形MNPQ是C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量与的夹角为120，=2.1求C的方程；2求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.剖析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C为原点，MN所在直线为x轴，求C的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a
5、、b即可.解：1以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy.与的夹角为120，故QCM=60.于是QCM为正三角形，CQM=60.又=2，即|cosCQM=2，于是r=|=2.故C的方程为x2+y2=4.2依题意2c=4，2a=|QN|+|QM|，而|QN|=2，|QM|=2，于是a=+1，b2=a2c2=2.所求椭圆的方程为+=1.【研讨.欣赏】OxyABCDE如图，AOE和BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|t(t0)，连AC交BE于D点 用t表示向量和的坐标；求向量和的夹角的大小解:(t+1)，(t+1)， t，t，又(，)，(t，(t+2)；(，)，(，)
6、(，)， 又| cos，向量与的夹角为60五提炼总结以为师1.平面向量的数量积、几何意义及坐标表示;2.用数量积处理向量垂直问题，向量的长度、角度问题.3.向量与的夹角：1当a与必有公共起点，否那么要平移；20，180；3cos，=同步练习 5.3平面向量的数量积 【选择题】1. (2023湖北1)向量a=，1，b是不平行于x轴的单位向量，且ab=,那么b= A. B. C. D.1，02. (2023四川) 正六边形，以下向量的数量积中最大的是( )A BC D32023辽宁点A2，0，B3，0，动点Px，y满足=x2，那么点P的轨迹是 ( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4的非等腰三角
7、形，且，那么关于x的二次方程的根的个数表达正确的选项是 A无实根B有两相等实根C有两不等实根D无法确定【填空题】5.(2023春上海) 假设向量的夹角为，那么 .6.2023浙江设向量满足,假设,那么的值是 7.(2023重庆4)A3，1，B6，1，C4，3，D为线段BC的中点，那么向量与的夹角为_8. (2023江苏)在中，O为中线AM上一个动点，假设AM=2，那么的最小值是_。练习简答：1-4.BADC; 5.2; 6. 得.又,结合图形知,;7. ; 8.-2; 【解答题】9，按以下条件求实数的值。 1； 2 解：1；2；3。10.如图,求与向量=，-1和=1，夹角相等，且模为的向量的坐
8、标。 法一：设=x，y，那么=x-y，=x+y = 即 又|= x2+y2=2 由得 或舍=法二：从分析形的特征着手 |=|=2, =0 AOB为等腰直角三角形，如图 |=，AOC=BOC C为AB中点 C11. (2023湖北)设函数，其中向量，。求函数f(x)的最大值和最小正周期；将函数y=f(x)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d。解：I = = 故f(x)的最大值为，最小正周期是II由得，即于是因为k为正数，要使最小，那么只要k=1,此时即为所求.【探索题】长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点（1） 利用向量知识判定点P在什么位置时，PED=450；（2） 假设PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。分析：利用坐标系可以确定点P位置如图，建立平面直角坐标系yBPDCEAx那么C2，0，D2，3，E1，0设P0，y =1，3，=-1，y =3y-1代入cos450=解之得舍，或y=2 点P为靠近点A的AB三等分处（3） 当PED=450时，由1知P0，2 =2，1，=-1，2 =0 DPE=900又DCE=900 D、P、E、C四点共圆说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：建立平面直角坐标系；设点的坐标；求出有关向量的坐标；利用向量的运算计算结果；得到结论。
