1、一九九八年全国高中数学联合竞赛一、选择题（此题总分值36分，每题6分）1 假设a 1, b 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 那么lg(a 1)+lg(b 1) 的值( ) （A）等于lg2（B）等于1 (C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数 2.假设非空集合A=x|2a+1x3a 5,B=x|3x22,那么能使AAB成立的所有a的集合是( ) （A）a | 1a9 (B) a | 6a9 (C) a | a9 (D) 3.各项均为实数的等比数列an前n项之和记为Sn ,假设S10 = 10, S30 = 70, 那么S40等于( ) (A) 150 (B) - 200
2、 (C)150或 - 200 (D) - 50或400 4.设命题P：关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 0与a2x2 + b2x + c2 0的解集相同； 命题Q：= 那么命题Q( ) (A) 是命题P的充分必要条件 (B) 是命题P的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题P的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件5.设E, F, G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,那么二面角CFGE的大小是( ) (A) arcsin (B) +arccos (C) arctan (D) arccot 6.在正方体的8个顶点, 12条棱的
3、中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37二、填空题( 此题总分值54分,每题9分) 各小题只要求直接填写结果.1假设f (x) (xR)是以2为周期的偶函数, 当x 0, 1 时,f(x)=x，那么f()，f()，f()由小到大排列是 2设复数z=cos+isin(0180)，复数z，(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是_.3从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
4、, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有_种.4各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_项. 5假设椭圆x2+4(ya)2=4与抛物线x2=2y有公共点，那么实数a的取值范围是 6DABC中, C = 90o, B = 30o, AC = 2, M是AB的中点. 将DACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2，此时三棱锥A-BCM的体积等于_.三、（此题总分值20分）复数z=1sin+icos()，求z的共轭复数的辐角主值 四、（此题总分值20分） 设函数f (x) = ax 2 +8x +3 (a 1,
5、b 1, 且lg (a + b) = lg a + lg b, 那么lg (a 1) + lg (b 1) 的值( ) （A）等于lg2（B）等于1 (C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数 解：a+b=ab，(a1)(b1)=1，由a10，b10，故lg(a1)(b1)=0，选C2假设非空集合A=x|2a+1x3a 5,B=x|3x22,那么能使AAB成立的所有a的集合是( ) （A）a | 1a9 (B) a | 6a9 (C) a | a9 (D) 解：AB，A 32a+13a522，6a9应选B3各项均为实数的等比数列a n 前n项之和记为S n ,假设S10 = 10, S
6、30 = 70, 那么S40等于( ) (A) 150 (B) -200 (C)150或 -200 (D) -50或400解：首先q1，于是，(q101)=10，(q301)=70， q20+q10+1=7q10=2(3舍) S40=10(q401)=150选A 4.设命题P：关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 0与a 2x2 + b2x + c2 0的解集相同; 命题Q：= 那么命题Q( ) (A) 是命题P的充分必要条件 (B) 是命题P的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题P的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件 解：假设两个不等式
7、的解集都是R，否认A、C，假设比值为1，否认A、B，选D5.设E, F, G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,那么二面角CFGE的大小是( ) (A) arcsin (B) +arccos (C) arctan (D) arccot 解：取AD、BD中点H、M，那么EHFGBD，于是EH在平面EFG上设CMFG=P，AMEH=Q，那么P、Q分别为CM、AM中点，PQAC ACBD，PQFG，CPFG，CPQ是二面角CFGE的平面角设AC=2，那么MC=MA=，cosACM= 选D6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的
8、个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37解：8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组； 面中心为中点：46=24组； 棱中点为中点：12个共49个，选B二、填空题( 此题总分值54分,每题9分) 各小题只要求直接填写结果.1假设f (x) (xR)是以2为周期的偶函数, 当x 0, 1 时,f(x)=x，那么f()，f()，f()由小到大排列是 解：f()=f(6)=f()f()=f(6)=f()，f()=f(6+)=f()现f(x)是0，1上的增函数而故f()f()2，4a101a1且a即a11a6DABC中, C = 90o, B = 30o, AC = 2, M是AB的中点. 将DACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2，此时三棱锥ABCM的体积等于 解：由，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=2，由
