1、第三讲 充满活力的韦达定理知识纵横 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法例题求解【例1】(1)已知是方程的两个
2、实数根，且，那么实数m的取值范围是_（河南省中考题）(2) 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 （绍兴市竞赛题） 思路点拨 对于（1），运用根与系数关系建立m的不等式，但要注意判别式的制约；对于（2） 所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为基本对称式解。【例2】如果方程 的三根可以作为一个三角形的三边线之长，那么，实数m的取值范围是( ) A B C D（全国初中数学联赛题）思路点拨 设方程的根分别为1、，由三角形三边关系定理、韦达定理建立m的不等式组。 【例3】 已知关于的方程： (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根(2)若这个方程的两个实
3、根、满足，求m的值及相应的、（苏州市中考题）思路点拨 对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手【例4】 设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值 （第16届江苏省竞赛题） 思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(0)进行的注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性根的分布【例5】为实数，ac0,且证明一元二次方程 有大于而小于 1 的根。（全国初中数学联赛题）来源:学科网学历训练基础务实 1
4、方程的两个实数根分别为 （烟台市中考题）2已知关于x的方程有两个实数根，且 （淮安市中考题）3.设、是方程 的两个根，且 则 （南通市中考题） 4关于x的一元二次方程的 两个实数根分别是的值是 （ ）A.1 B.12C.13D.25 (包头市中考题)5在RtABC中，C90，a、b、c分别是A、B、C的对边，a、b是关于的方程的两根，那么AB边上的中线长是( )A B C5 D26若关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ）A B C D （天津市中考题）7已知关于的一元二次方程有两个实数根 。（1）求实数m的取值范围。（2）当时，求m的值。（毕节市中考题） 8已知关于的方程有两个实
5、数根(1) 求p的取值范围； (2)若，求的值 （孝感市中考题）能力拓展9已知方程的两根均为正整数，且，那么这个方程两根为 （“祖冲之杯”邀请赛）10已知整数p,q满足且关于x的一元二次方程的两个根均为正整数，则p= (“新知杯”上海市竞赛题)11ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是 （四川省竞赛题）12对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程的两根记为则（全国初中数学联赛题）13设的两个实数根，则的值为（ ）A-29 B-19 C-15 D-9 （第21届江苏省竞赛题）14若方程 的一个跟大一1，另一个根小于1，则的值为 ( )A.不大于1 B.大于1 C.小
6、于1 D.不小于1（2011年数学周报杯全国初中数学竞赛题）15若 ，且有的值为（ ）A B C D（全国初中数学联赛题）16设a，b为整数，并且一元二次方程x2+（2a+b+3）x+（a2+ab+6）=0有等根，而一元二次方程2ax2+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根；那么，以，为根的整系数一元二次方程是（）A2x2+7x+6=0 B2x2+x-6=0Cx2+4x+4=0 Dx2+（a+b）x+ab=0 （2011年江西省竞赛题）17设时关于x的一元二次方程的两个实数根，求的最大值。（全国初中数学竞赛题）18已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2-1=0的两个实数根，其满足（3x1-x2）（x1-3x2）=-80求实数a的所有可能值 （2011四川省竞赛题） 综合创新 19、已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0的两根x1，x2满足x12-x22=0，双曲线y=（x0）经过RtOAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C，求SOBC（荆州市中考题）20、已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值。（2011年“数学周报”杯全国初中数学竞赛题） 5
