1、坐标系与参数方程 知识点 一、 坐标系1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2. 极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.例1 写出下图中各点的极坐标A
2、（ ） B（ ）C（ ） D（ ） E（ ） F（ ）3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.例1、分别把下列点的极坐标 ，化成直角坐标A（4，0） B（3，） C（2，） D（3，）变式1： 例2、分别把下列点的直角坐标化为极坐标：（限定）；例3、在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为_变式3：在极坐标系中，曲线与，试
3、求曲线交点的极坐标_例4、在极坐标系中，直线的方程，则点到直线的距离为 变式4-1：已知直线的极坐标方程，求极点到直线的距离_变式4-2：在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数的值_ 变式4-3:在极坐标系中，已知点（1，）和,则、两点间的距离是 4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线 圆的极坐标方程例1、把下列极坐标方程化为直角坐标方程： （1）； （2）.变式1求下列圆的圆心的极坐标： （1）； （2）.变式2求圆的圆心的极坐标与半径. 一个圆的极坐标
4、方程是，求圆心的极坐标与半径.变式3两圆和的圆心距是 . 例2、圆心在 ，半径为4的圆的极坐标方程_变式1. 求圆心在点（-4，3），且过极点的圆的极坐标方程.变式2. 在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：（1）圆心在，半径为1的圆；（2）圆心在，半径为的圆. 变式3. 圆的极坐标方程是 . 直线的极坐标方程例1把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1）；（2）.变式1曲线的直角坐标方程是 .变式2直线的直角坐标方程是 .变式3求下列直线的倾斜角：（1）；（2）.变式4直线的极坐标方程是 .例2、在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是的直线；（2）过点，
5、并且和极轴垂直的直线.变式1. 求经过极点，从极轴到直线的夹角是的直线的极坐标方程.变式2经过极点，且倾斜角是的直线的极坐标方程是 .变式3过点，且平行于极轴的直线的极坐标方程为 . 例3、已知直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离.变式1直线关于直线对称的直线的极坐标方程为_二、 参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数,并且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.例1、对于曲线上任一点，下
6、列哪个方程是以为参数的参数方程（ ）A、 B、 C、 D、2.参数方程和普通方程的互化 一消参的方法参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数例 已知曲线C的参数方程是，且点在曲线C上，则实数的值为（ ） A、 B、 C、 D、无法确定（2） 三角法：利用三角恒等式消去参数例 化为普通方程为_（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。例 若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）A BC D 二常见曲线的参数方程化为普通方程的方法（1）圆参数方程 （为参数）（2）圆参数方程为： （为参数）（3）椭圆参数方
7、程 （为参数）（4）双曲线参数方程 （为参数）（5）抛物线参数方程 （t为参数）（6）过定点倾斜角为的直线的参数方程 （为参数）例1将下列参数方程化为普通方程（1） （2） （3） （4） （5） (6)例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。（1） （t是参数） （2） （t是参数） （3） （4） 【扩展练习】1.直线上与点的距离等于的点的坐标是_。2曲线与坐标轴的交点是（ ）A B C D 3直线过定点_。4直线和圆交于两点，则的中点坐标为（ ）A B C D 5求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。 6、 已知为圆上任意一点，求的最大值和最小值。 3圆的参数圆心为，半
8、径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。4椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0，2）。5双曲线的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，其中焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为（三） 圆锥曲线的参数方程例1 曲线的普通方程为 _。例2曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）A B C1 D例3.已知椭圆 (为参数)
9、求 （1）时对应的点P的坐标 （2）直线OP的倾斜角 1在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。变式1.在椭圆上求一点M，使点M到直线x2y100的距离最小，并求出最小距离. 变式2.已知实数x、y满足zx2y的最大值与最小值.2直线被圆截得的弦长为_。3在曲线上的点为（ ）A(2,7) B C D(1,0)4. 曲线的轨迹是（ ）A一条直线 B一条射线 C一个圆 D一条线段5.已知圆方程，选择适当的参数将它化为参数方程.6、求直线与圆的交点坐标。7直线的参数方程经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为例1.已知直线l：xy10与抛物线yx2交于A，B两点，求线
10、段AB的长和点M(1,2)到A，B两点的距离之积.例2.设AB为椭圆 的一条弦，点M(2, 1)为AB的中点，求AB所在直线的方程。例3.若直线与直线（为参数）垂直，则 ） ）多少？6. 设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_ 坐标系与参数方程测试题考试时间：90分钟满分：150分 姓名：成绩一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分. )1若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）A B C D2下列在曲线上的点是（ ）A B C D 3将参数方程化为普通方程为（ ）A B C D 4化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）A B C D 5点的直角坐标是，则
11、点的极坐标可以为（ ）A B C D 6极坐标方程表示的曲线为（ ）A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆7参数方程为表示的曲线是（ ）A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线8圆的圆心坐标是（ ）A B C D9直线和圆交于两点，则的中点坐标为（ ）A B C D 10直线被圆截得的弦长为（ ）A B C D 二、填空题(本题共6小题，每题5分，共30分)11直线的斜率为_。12已知直线与直线相交于点，又点，则_。13直线被圆截得的弦长为_。14直线的极坐标方程为_。15直线过定点_。16点是椭圆上的一个动点，则的最大值为_。三、解答题17已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程。(10分)（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。(10分) 18已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；(10分)（2）若恒成立，求实数的取值范围。(10分)19求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。(20分)20在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。(10分) 17 / 17
