1、第四节 垂直关系A组1(2023年宁波十校联考)设b、c表示两条直线，表示两个平面，那么以下命题是真命题的是_假设b，c，那么bc假设b，bc，那么c假设c，那么c 假设c，c，那么解析：中，b，c亦可能异面；中，也可能是c；中，c与的关系还可能是斜交、平行或c；中，由面面垂直的判定定理可知正确答案：2(2023年青岛质检)直线l平面，直线m平面，下面有三个命题：lm；lm；lm.那么真命题的个数为_解析：对于，由直线l平面，得l，又直线m平面，故lm，故正确；对于，由条件不一定得到lm，还有l与m垂直和异面的情况，故错误；对于，显然正确故正确命题的个数为2.答案：2个3(2023年高考山东卷
2、改编)、表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，那么“ 是“m 的_条件解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线，m，那么，反过来那么不一定所以“是“m的必要不充分条件答案：必要不充分4(2023年高考浙江卷)如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，那么t的取值范围是_解析：如图，过D作DGAF，垂足为G，连结GK，平面ABD平面ABC，又DKAB，DK平面ABC，DKAF.AF平面DKG，AFGK.容易得到，当F接近E点时，K接
3、近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点t的取值范围是(，1)答案：(，1)5(原创题)a、b为两条不同的直线，、为两个不同的平面，且a，b，那么以下命题中假命题的有_假设ab，那么；假设，那么ab；假设a、b相交，那么、相交；假设、相交，那么a，b相交解析：假设、相交，那么a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线答案：6(2023年高考山东卷)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1分别是棱AD，AA1的中点(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1；(2)证明：平面D1AC平面BB1C1C.证
4、明：(1)法一：取A1B1的中点为F1，连结FF1，C1F1.由于FF1BB1CC1，所以F1平面FCC1.因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连结A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1DF1C.又EE1A1D，得EE1F1C.而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，故EE1平面FCC1.法二：因为F为AB的中点，CD2，AB4，ABCD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以ADFC.又CC1DD1，FCCC1C，FC平面FCC1，CC1平面FCC1，ADDD1D，AD平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1.所以平面AD
5、D1A1平面FCC1.又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.(2)连结AC，在FBC中，FCBCFB，又F为AB的中点，所以AFFCFB.因此ACB90，即ACBC.又ACCC1，且CC1BCC，所以AC平面BB1C1C.而AC平面D1AC，故平面D1AC平面BB1C1C.B组1设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，那么能得出ab的是_a，b， a，b，a，b， a，b，解析：由，b b，又a，故ab.答案：2设，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，那么以下命题正确的选项是_假设m，n，mn，那么假设n，n，m，那么m假设m，n，mn，那么假设，n，mn，那么m解析：由n，
6、n可得，又因m，所以m.答案：3设m，n是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是m，n，mn ，m，n mn，m，n mn ，m，nmn解析：错，不符合面面垂直的判断定理的条件；由空间想象易知命题正确；错，两直线可平行；错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线n在平面内时命题才成立答案：4两条不同的直线m，n，两个不同的平面，那么以下命题中正确的选项是_假设m，n，那么mn假设m，n，那么mn假设m，n，那么mn假设m，n，那么mn解析：易知正确而中且mm或m，又n，容易知道m，n的位置关系不定，因此错误而中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此错误而中因为不对，
7、此项也不对综上可知正确答案：5设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，那么以下命题的逆命题不成立的是_c，假设c，那么b，c是a在内的射影，假设bc，那么abb，假设b，那么b，c，假设c，那么bc解析：当b，假设，那么未必有b.答案：6二面角l的大小为30，m、n为异面直线，m平面，n平面，那么m、n所成的角为_解析：m，n，m、n所成的夹角与二面角l所成的角相等或互补二面角l为30，异面直线m、n所成的角为30.答案：307如下列图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，那么C1在底面ABC上的射影H必在直线_上解析：由ACAB，ACBC1，AC平面ABC1，AC平面AB
8、C，平面ABC1平面ABC，C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上答案：AB8(2023年江苏昆山模拟)在矩形ABCD中，AB3，AD4，P在AD上运动，设ABP，将ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时的值为_解析：过A作AHBP于H，连CH，AH平面BCDP.在RtABH中，AH3sin，BH3cos.在BHC中，CH2(3cos)242243coscos(90)，在RtACH中，AC22512sin2，45时，AC长最小答案：459在正四棱锥PABCD中，PAAB，M是BC的中点，G是PAD的重心，那么在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有_条
9、解析：设正四棱锥的底面边长为a，那么侧棱长为a.由PMBC，PMa，连结PG并延长与AD相交于N点，那么PNa，MNABa，PM2PN2MN2，PMPN，又PMAD，PM面PAD，在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直答案：无数10如图，在三棱锥SABC中，OAOB，O为BC中点，SO平面ABC，E为SC中点，F为AB中点(1)求证：OE平面SAB；(2)求证：平面SOF平面SAB.证明：(1)取AC的中点G，连结OG，EG，OGAB，EGAS，EGOGG，SAABA，平面EGO平面SAB，OE平面OEGOE平面SAB(2)SO平面ABC，SOOB，SOOA，又OAOB，SA2SO2
10、OA2，SB2SO2OB2，SASB，又F为AB中点，SFAB，SOAB，SFSOS，AB平面SOF，AB平面SAB，平面SOF平面SAB.11在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点(1)求证：CE平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F平面CEF.证明：(1)取CC1的中点G，连结B1G交C1F于点F1，连结E1F1，A1G，FG，F是BB1的中点，BCC1B1是矩形，四边形FGC1B1也是矩形，FC1与B1G相互平分，即F1是B1G的中点又E1是A1B1的中点，A1GE1F1.又在长方体中，AA1綊CC1，E，G分别为A
11、A1，CC1的中点，A1E綊CG，四边形A1ECG是平行四边形，A1GCE，E1F1CE.CE平面C1E1F，E1F1平面C1E1F，CE平面C1E1F.(2)长方形BCC1B1中，BB12BC，F是BB1的中点，BCF、B1C1F都是等腰直角三角形，BFCB1FC145，CFC1180454590，C1FCF.E，F分别是矩形ABB1A1的边AA1，BB1的中点，EFAB.又AB平面BCC1B1，又C1F平面BCC1B1，ABC1F，EFC1F.又CFEFF，C1F平面CEF.C1F平面C1E1F，平面C1E1F平面CEF.12(2023年江苏淮安模拟)如图，空间四边形ABCD中，BCAC，ADBD，E是AB的中点求证：(1)AB平面CDE；(2)平面CDE平面ABC；(3)假设G为ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF平面CDE.证明：(1)CEAB，同理，DEAB，又CEDEE，AB平面CDE.(2)由(1)知AB平面CDE，又AB平面ABC，平面CDE平面ABC.(3)连结AG并延长交CD于H，连结EH，那么，在AE上取点F使得，那么GFEH，