1、国家开放大学电大本科常微分方程网络课形考任务3试题及答案国家开放大学电大本科常微分方程网络课形考任务3试题及答案 形考任务3 常微分方程学习活动3 第一章 初等积分法的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章根本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评
2、分。 一、填空题 1微分方程是 二 阶微分方程 2初值问题的解所满足的积分方程是 3微分方程是 一阶线性非齐次微分方程 就方程可积类型而言4微分方程是 全微分方程 就方程可积类型而言5微分方程是 恰当倒数方程 就方程可积类型而言6微分方程的所有常数解是 7微分方程的常数解是 8微分方程的通解为 9微分方程的通解是. 10一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线 二、计算题 1指出以下方程的阶数，是否是线性方程：1 答：一阶，非线性 2 答：四阶，线性 3 答：三阶，非线性 2用别离变量法求解以下方程：1 2 3 21解 通积分为 2解 当时，别离变量，两端取积分得 即 通积分为 另
3、外，是常数解， 注: 在方程求解时，求出显式通解或隐式通解通积分即可，常数解可以不求。 3解 当时, 方程可变为 ， 通积分为 或 , 上式代入初值条件. 得. 于是初值问题解为 . 3解以下齐次线性微分方程 1 2 1解 显然是方程的解. 当时, 原方程可化为 . 令, 那么原方程可化为 , 即 易于看出, 是上面方程的解, 从而 是原方程的解. 当时, 别离变量得, . 两端积分得(C) 将换成, 便得到原方程的解 , (C). 故原方程的通解为为任意常数及 . 2解 显然是方程的解. 当时, 原方程可化为 . 令, 那么原方程可化为 , 即 易于看出, 是上式的解, 从而是原方程的解.
4、当时, 别离变量得, . 两端积分得 (C). 将换成, 便得到原方程的解 (C). 故原方程的通解为 . 4解以下一阶线性微分方程：1 2 1解 先解齐次方程 . 其通解为 . 用常数变易法, 令非齐次方程通解为 . 代入原方程, 化简后可得. 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . 2解 先解齐次方程 . 其通解为 . 用常数变易法, 令非齐次方程通解为 . 代入原方程, 化简后可得 . 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . 5解以下伯努利方程 1 2 1解 显然是方程解. 当时, 两端同除, 得 . 令, 代入有 它的解为 于是原方程的解为，及 2解 显然是方程解. 当时, 两端同
5、除, 得 . 令, 代入有 它的解为 ， 于是原方程的解， 及 6解以下全微分方程：1 21解 因为 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个平面都连续可微, 不妨选取. 故方程的通积分为 , 即 . 2解 因为 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个平面都连续可微, 不妨选取. 故方程的通积分为 , 即 . 7求以下方程的积分因子和积分：1 2 1解 因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子. 由公式1. 58得积分因子，即 于是方程 为全微分方程.取 . 于是方程的通积分为. 即 . 2解 因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子. 解方程 由公式1. 58得积分因子
6、，即 于是方程 为全微分方程. 取 . 于是通积分为. 即. 8求解以下一阶隐式微分方程 1 2 1解 将方程改写为 即或 解得通积分为：, 又是常数解. 2解 显然是方程的解. 当时, 方程可变为 , 令, 那么上面的式子可变为 . 解出u得, . 即 . 对上式两端积分得到方程的通解为 9求解以下方程 1 2 1解 令 , 那么. 代入原式得. 解出得 . 这是克莱洛方程，通解为 . 即 . 解之得 为任意常数. 2解 化简得 ， 即 求积分得 . . 三、证明题 1设函数，在上连续，且， a, b为常数求证：方程 的一切解在上有界 2设在上连续，且，求证：方程 的一切解，均有 1证明 设
7、y=y(x)是方程任一解，且满足y(x0)=y0, 那么 由于，所以对任意0,存在x0,使得x时 有 令，那么 于是得到 又在x0，x1上y(x)有界设为M2，现取 ， 那么 2证明 设是方程任一解，满足，该解的表达式为 取极限 = 四、应用题 1按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比, 空气温度为, 而物体在15分钟内由 冷却到 , 求物体冷却到所需的时间. 2重为100kg的物体，在与水平面成30的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：1物体运动的微分方程；2求5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度 1 解 设物体在时刻t的温度为，由题意满足初值问题 其中为常数 解得 设物体冷却到40所需时间为，于是由得 解得 52分钟. 2解 取初始下滑点为原点，轴正向垂直向下，设 时刻速度为 , 距离为, 由题意满足初值问题 解得 再由解得 于是得到5秒后， ， ,