1、初中数学初中数学“数形结合数形结合”思想的教学研究思想的教学研究 焦让前 摘 要：数形结合思想，即借助数的精确性阐明图形的某种属性。利用图形的直观性阐明数与数之间的关系，这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。关键词：数形结合;几何意义;应用;观察力 中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2019）15-068-2 新的课程改革中的数学，其基本出发点是促进学生全面、和谐、持续的发展，它要求学生通过学习数学知识、技能和方法，逐渐形成自己的数学思想和方法，让学生学会用数学的眼光看待生活中的人和事物，学会用
2、数学的方法解决生活中的实际问题。运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。一、激发学生用数形结合的思想去解题的兴趣 教师要善于激发学生的“数形结合”兴趣，培养学生的“数形结合”意识。“数轴”的学习对于处于“数形结合”萌芽时期的初中生而言是决定性的。一方面，它可以与有理数、无理数的学习联系起来，让初中生开始感受什么是数形结合;另一方面，它通过方程、不等式的应用让学生真正体验到数形结合的优势，而恰恰是这种体验令学生见证了数与形的和谐统一，并在潜移默化中最终形成运用数形结合的思想意识。二、重视数学概念的几何意义的教学 数学中的很多概念都有一定的几何意义
3、，要培养学生数形结合的思想，就要善于挖掘数学概念的几何意义。刚进入初中的学生在学习绝对值的概念时，教材对绝对值的几何意义作了如下描述：“一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离”。因此教师此时要有意识地重视讲清：“|x|在数轴上表示数 x 所对应的点到原点的距离”。例 1：在数轴上表示 a、b 两个实数的点的位置如图所示，化简|a-b|-|a+b|。解决这个问题应从数轴上讨论 a，b 的绝对值的大小，根据有理数加法、减法法则，从而确定 a+b，a-b 的符号。通过认真讲述数学概念的几何意义，沟通数与形的本质联系，不仅可以深化对数学概念的理解，而且还为提高学生解决问题的能力开辟了新途
4、径。所以从低年级起就要重视数学概念的几何意义的教学，知难而进，培养兴趣，持之以恒，将会有极大的收益。三、重视数学的的基本图象在函数、三角上的应用 在初中阶段，数形结合是一种重要的数学思想，它要求学生把抽象的数或式与直观的“形”（几何图形）结合起来，达到使问题容易理解，思路易于把握的效果，华罗庚所说的“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，正说明了数形结合思想的重要性。例 2：ax2+bx+c=0（a0）是一元二次方程。它的解可以理解为函数y=ax2+bx+c 的图象与常值函数 y=0，即 x 轴的交点的横坐标。那么当公共点有两个时，对应的一元二次方程有两个不相等的实数解;当公共点只有一个时，对应的
5、一元二次方程有两个相等的实数解;当没有公共点时，对应的一元二次方程没有实数解。解析：x2-x-6=0，x1=-2，x2=3，y=x2-x-6 与 x 轴的公共点 A（-2，0），B（3，0）。x2-2x+1=0，x1=x2=1，y=x2-2x+1 与 x 轴的公共点 A（1，0）。x2+1=0，没有实数解，y=x2+1 与 x 轴没有公共点。例 3：如图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地须经 C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶。已知 AC=10km，A=30，B=45，则隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少千米？（结果精确到
6、01km）（参考数据：2141，3173）解析：過点 C 作 CDAB，垂足为 D。构造两个有着公共边的直角三角形。使得问题转化到解直角三角形中的问题，在 RtCAD 中，可求 CD=5，AD=53。在 RtCBD 中，可求 BC=52。AB=5+53。AC+BC-AB=5+52-5334。所以，隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走约 34 千米。因此作为老师就要教他们梳理所学数学的知识和数学的思想、方法。特别要将教材中隐藏的思想方法挖掘出来，并且要把分析问题和解决问题的方式、方法教给学生，同时要让他们得到一定的训练，达到久久难以忘怀的程度，从而使学生感受到其中的乐趣。四、要善于利用
7、数形结合培养学生的观察力 数形要结合，关键在于能根据函数式（或方程）画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。数学上的有很多公式、定理都具有一定的几何意义，教学中引导学生深刻分析这些公式、定理与几何图形的内在的本质地联系，从而寻求解决问题的有效方法。例 4：在某一个圆上，我们考察同一个弧所对的圆心角和圆周角的关系。教师可以在黑板上画图，引导学生进行观察：1.当圆周角的一边与圆心角的一边共线（或圆心在圆周角的一边上）时，我们可以很快发现“圆周角是圆心角的一半”（见图 1-1）;2.当圆心在圆周角内时，我们只要做一条辅助线（连接圆形和圆周角的顶点的直径），再利用前面的结果又可发现“圆周角是圆心角的
8、一半”（见图 1-2）;3.当圆心在圆周角外时，做同样的辅助线可以利用前面的结果得到“圆周角是圆心角的一半”（见图 1-3）。我们从以上三个个别情形可以推得一般结论：“在任何情形下，同弧所对的圆周角是圆心角的一半”。可见，挖掘代数式的几何意义，数形结合起到了鬼斧神工的妙用。因此，教师在使用数形结合方法的时候，必须结合教学内容和学生的实际，采取适当方法和措施，有意识地去体现和解释数学知识中抽象概念和形象事物之间的联系，提高学生的数学思维。对讲过的知识点必须及时总结和复习，强化这些知识，让它们在学生脑海中留下深刻的印象，促使学生对概念的认识从感性上升到理性。总之，数形结合是具体与抽象、感知与思维的结合，是使形象思维与抽象思维相互转化的有力“杠杆”。教师应在数学教学中尽量发掘“数”与“形”的本质联系，借助数形结合的“慧眼”，探索分析问题和解决问题的方法，变学生学会为会学，提高学生的数学素养，在数学教学中真正实现素质教育。