1、第三章 第八节 正弦定理和余弦定理应用举例题组一距 离 问 题1.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，那么这只船航行的速度为 ()A.海里/时 B34海里/时C.海里/时 D34海里/时解析：如图由题意知MPN=75+45=120，PNM=45.在PMN中，由正弦定理，得，MN=68=34.又由M到N所用时间为14-10=4小时，船的航行速度v= (海里/时)答案：A2一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_
2、km.解析：如图，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30 km.答案：303如下列图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求AB的长解：在ACD中，CDa，ACD60，ADC60，所以ACa. 在BCD中，由正弦定理可得BCa. 在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为ABa.题组二高 度 问 题4.据新华社报道，强台风“珍珠在广东饶平登陆台风中心最大风力到达12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少
3、大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，那么折断点与树干底部的距离是 ()A.米 B10米 C.米 D20米解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，那么ABO=45，AOB=75，OAB=60.由正弦定理知，AO= (米)答案：A5在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2，再向塔底前进10 m，又测得塔顶的仰角为4，那么塔的高度为_解析：如图，依题意有PB=BA=30，PC=BC=.在三角形BPC中，由余弦定理可得cos2=，所以2=30，4=
4、60，在三角形PCD中，可得PD=PCsin4=10=15(m)答案：15 m6某人在山顶观察地面上相距2 500 m的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57，俯角为30，同时测得B在南偏东78，俯角是45，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)解：画出示意图(如下列图)设山高PQ=h，那么APQ、BPQ均为直角三角形，在图(1)中，PAQ=30，PBQ=45.AQ=，BQ=h.在图(2)中，AQB=57+78=135，AB=2 500，所以由余弦定理得：AB2=AQ2+BQ2-2AQBQcosAQB，即2 5002=(h)2+h2-2hhcos135=(4+)h2，h
5、=984.4(m)答：山高约984.4 m.题组三角 度 问 题7.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，如果ca，B30，那么角C等于 ()A120 B105 C90 D75解析：ca，sinCsinAsin(18030C)sin(30C)(sinCcosC)，即sinCcosC.tanC.又C(0,180)，C120.答案：A8如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形状为 ()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2a2b2，abc新的三角形的三边长为ax、bx、cx，知cx为最大
6、边，其对应角最大而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，那么为锐角，那么它为锐角三角形答案：A题组四正、余弦定理的综合应用9.有一山坡，坡角为30，假设某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30角的小路前进一段路后，升高了100米，那么此人行走的路程为 ()A300 m B400 m C200 m D200 m解析：如图，AD为山坡底线，AB为行走路线，BC垂直水平面那么BC=100，BDC=30，BAD=30，BD=200，AB=2BD=400 米答案：B10线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由
7、A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，那么运动开始_h后，两车的距离最小解析：如下列图：设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，那么AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BDBEcos60=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)50t=12900t2-42022t+40000.当t=时DE最小答案：11如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP，求POC面积的最大值及此时的值解
8、：因为CPOB，所以CPOPOB60，OCP120.在POC中，由正弦定理得，所以CPsin.又，OCsin(60)因此POC的面积为S()CPOCsin120sinsin(60)sinsin(60)sin(cossin)cos(260)，(0，60)所以当30时，S()取得最大值为.12(2023宁波模拟)某建筑的金属支架如下列图，根据要求AB至少长2.8 m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5 m，BCD60，建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个支架的本钱最低？解：设BCam(a1.4)，CDbm，连接BD.那么在CDB中，(b)2b2a22abcos60.b.b2a2a.设ta1，t10.4，那么b2a2(t1)3t47，等号成立时t0.50.4，a1.5，b4.答：当AB3 m，CD4 m时，建造这个支架的本钱最低