1、第十一章简 易 逻 辑考纲导读1理解逻辑联结词“或、“且、“非的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义2学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力简易逻辑性命题逻 辑 联 结 词简单命题与复合命题四种命题及其关系充分必要条件知识网络高考导航1简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，那么只会是中低档题2集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内
2、容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现第1课时 逻辑联结词和四种命题根底过关一、逻辑联结词1 可以 的语句叫做命题命题由 两局部构成；命题有 之分；数学中的定义、公理、定理等都是 命题2逻辑联结词有 ，不含 的命题是简单命题由 的命题是复合命题复合命题的构成形式有三种： ，(其中p，q都是简单命题)3判断复合命题的真假的方法真值表：“非p形式的复合命题真假与p的 当p与q都真时，p且q形式的复合命题 ，其他情形 ；当p与q都 时，“p或q复合形式的命题为假，其他情形 二、四种命题1四种命题：原命题：假设p那么q；逆命题
3、： 、否命题： 逆否命题： .2四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题 、否命题 、逆否命题 原命题与它的逆否命题同 、否命题与逆命题同 3反证法：欲证“假设p那么q为真命题，从否认其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法典型例题例1. 以下各组命题中，满足“p或q为真，“p且q为假，“非p为真的是 Ap:0；q:0Bp：在ABC中，假设cos2Acos2B，那么AB； ysinx在第一象限是增函数C；不等式的解集为Dp：圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是x4解：由条件，知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假，排除；选项(B)中，命题p
4、真而命题q假，排除；选项(D)中，命题p和命题q都为真，排除；应选(C)变式训练1：如果命题“p或q是真命题，“p且q是假命题.那么 A命题p和命题q都是假命题B命题p和命题q都是真命题C命题p和命题“非q真值不同D命题q和命题p的真值不同解： D例2. 分别写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 假设q0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|1的解集为R,假设p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围. 解 ： 由函数y=ax在R上单调递减知0a1，所以命题p为真命题时a的取值范围是0a1的解集为R，只要ymin1即可，而函数y在R
5、上的最小值为2a，所以2a1，即a即q真a假设p真q假,那么0a假设p假q真，那么a1,所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0a或a1.例4. 假设a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x求证：a、b、c中至少有一个大于0证明：假设都不大于0，即 ，那么而，相矛盾因此中至少有一个大于0变式训练4：以下三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.解：设的三个方程都没有实根那么解得小结归纳故所求a的取值范围是a1或a1有关“p或q与“p且q形式的复合命题语句中，字面上未出现“或与“且字，此时应从语句的
6、陈述中搞清含义从而分清是“p或q还是“p且q形式2当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法3反证法的第一步为否认结论，需要掌握常用词语的否认如“至少等，而且推理过程中，一定要把否认的结论当条件用，从而推出矛盾用反证法证明命题的一般步骤为：1假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；2从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；3由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确第2课时 充要条件根底过关1充分条件：如果那么p叫做q的 条件，q叫做p的 条件2必要条件：如果那么p叫做q的 条件，q叫做p的 条件3充要条件：如果且那么p叫做q的 条件典型例题例1在以下
7、各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由1 A：，B：方程有实根；2 A：，B：；3A：；B：；4A：圆与直线相切，B：分析：要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可解：(1) 当，取，那么方程无实根；假设方程有实根，那么由推出或6，由此可推出所以A是B的必要非充分条件(2)假设那么所以成立假设成立 取，知不一定成立，故A是B的充分不必要条件(3) 由，由解得，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件(4) 直线与圆相切圆(0，0)到直线的距离，即.所以A是B的充要条件.变式训练1：指出以下命题中，p是q的什么条件在“充分不必要条件、“必要不充分条件、
8、“充要条件、“既不充分也不必要条件中选出一种作答.1在ABC中，p：A=B，q：sinA=sinB；2对于实数x、y，p：x+y8,q:x2或y6;3非空集合A、B中，p：xAB，q：xB；4x、yR，p：x-12+y-22=0，q：x-1y-2=0.解： 1在ABC中，A=BsinA=sinB，反之，假设sinA=sinB，因为A与B不可能互补因为三角形三个内角和为180),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.(3)显然xAB不一定有xB
9、,但xB一定有xAB,所以p是q的必要不充分条件.(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件.例2. p：2m0，0n1；q：关于x的方程x2mxn0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.解：假设方程x2mxn0有两个小于1的正根，设为x1、x2那么0x11、0x21，x1x2m，x1x2n0m2，0n1 2m0，0n1p是q的必要条件又假设2m0，0n1，不妨设m1，n那么方程为x2x0，(1)2410 方程无实根 p是q的非充分条件综上所述，p是q的必要非充分条件变式训练2：证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要
10、条件是ac0.证明：充分性：假设ac0,且0,x1x2=0,ac0. 综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0)，假设是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围. 解： 由题意知：命题：假设p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.p: |1|2212132x10q: x22x+1m20x(1m)x(1+m)0xp是q的充分不必要条件，不等式|1|2的解集是x22x1m20(m0)解集的子集又m0，不等式x的解集为1mx1m，m9，实数m的取值范围是9，+变式训练3：集合和集合，求a的一个取值范围，使它成为的一个必要不充分条件.解：， 由 所以是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一.例4. “函数y(a24a5)x24(a1)x3的图象全在x轴的上方，这