1、一题多变一题多变,思维提升思维提升 摘 要：本文以一道模拟试题为素材，对试题不断进行变式，最终达到一般性结论，这可以拓宽学生的思维，提高学生的解题能力，增强学生学习数学的兴趣，同时体现数学的美和数学的博大精深.关键词：变式研究;拓展思维;解题能力 通过一题多变的训练可以激发学生把问题多元化，由浅及深.一题多变的目的在于思维的“激发性”与“创造性”，在于让学生从多变中分析出解题的本质，获得思维水平更高的提升.本文通过一道平面向量试题的多变及解析，希望对学生学习解题有所帮助.1 题目呈现与解析 题目 已知点 O 是 ABC 的外心，AB=4，AC=2，则 AO（AB+AC）=（）.A.10 B.9
2、 C.8 D.6 解析 AO（AB+AC）=AOAB+AOAC=ABAOcosOAB+ACAOcosOAC=12AB2+12AC2=10.故选 A.2 题目变式与解析 变式 1 已知点 O 是 ABC 的外心，AB=4，AC=2，ACAB=-2，若 AO=xAC+yAB，则 x+y=.解法 1 因为 AO=xAC+yAB，所以 AOAC=4x-2y，AOAB=-2x+16y.即 4x-2y=2，-2x+16y=8.解得 x=45，y=35.故 x+y=75.解法 2 如图 1 建系，A（0，0），C（2，0），B（-1，15）.BC 的中垂线为 y-152=155（x-12）.令 x=1 时，
3、y=3155，即 O（1，3155）.因为 AO=xAC+yAB，所以 x=45，y=35.故 x+y=75.变式 2（2018 年吉林松原模拟）已知ABC 外接圆的圆心为 O，AB=2 3，AC=2 2，A 为钝角，M 是 BC 边的中点，则 AMAO 等于（）.A.3 B.4 C.5 D.6 解析 因为 M 是 BC 边的中点，所以 AM=12（AB+AC）.因为 O 是ABC 的外接圆的圆心，所以 AOAB=AOABcosBAO=12AB2=12（2 3）2=6.同理可得 AOAC=12|AC|2=12（2 2）2=4.所以 AMAO=12（AB+AC）AO=12ABAO+12ACAO=
4、12（6+4）=5.故选 C.变式 3（2018 年山西四校联考）ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，若AB+AC=2AO，且|OA|=|AC|，则 BA 在向量 BC 方向上的投影为（）.A.32 B.32 C.3 D.-32 解析 ABC 的外接圆的圆心在线段 BC 的中点 O 处，因此ABC 是直角三角形，且A=2.又因为|OA|=|CA|，所以C=3，B=6.所以 AB=3，AC=1.故 BA 在 BC 方向上的投影|BA|cos6=32.故选 A.变式 4（原创题）已知 O 是 ABC 内一点（包括三边），AB=4，AC=2，ACAB=-4，若 AO=xAC+yAB，则 x+2
5、y 的最大值是.解析 如图 3 建系，A（0，0），B（4，0），C（-1，3），设 O（x0，y0）.因为 AO=xAC+yAB，所以 x0=-x+4y，y0=3x.因为 O（x0，y0）是 ABC 内一点（包括三边），则满足 y0+3x00，y00，35（x0-4）+y00.将代入得 x0，y0，x-1+y0.问题转化为：x，y 满足 x0，y0，x-1+y0，求 x+2y 的最大值，画出 x，y的可行域.当 x=0y=1 时，x+2y 取最大值 2.变式 5（2009 年安徽卷理）给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB，它们的夹角为 120，如图 4 所示，点 C 在以 O 为圆
6、心的 AB 上变动，若 OC=xOA+yOB，其中 x，yR，则 x+y 的最大值是.解析 设 OA 与 OC 的夹角为，则 OB 与 OC 的夹角为 23-.|OA|=a，|OB|=b，|OC|=c.所以 OC=casin（23-）sin23OA+cbsinsin23OB=sin（23-）32OA+sin32OB.所以 x=sin（23-）32，y=sin32.所以 x+y=sin（23-）32+sin32=23（32cos+32sin）=3sin+cos=2sin（+6）.因為 023，所以 6+656.所以 12sin（+6）1.所以 1x+y2.所以 x+y 的最大值是 2.推广 已知
7、向量 OA 和 OB 不共线，OA=a，OB=b，OC=c，且 OA 与 OC 的夹角为，OB 与 OC 的夹角为，（1）当点 C 位于第，区域时，则有 OC=casinsin（+）OA+cbsinsin（+）OB;（2）当点 C 位于第，区域时，则有 OC=casinsin（-）OA-cbsinsin（-）OB.参考文献：1中华人民共和国教育部.普通高中课程标准实验教科书M.北京：北京师范大学出版社，2010.2吕二动.一道以解析几何为背景的最值问题的多角度思考J.理科考试研究，2019，26（07）：18-20.3刘占权.一道“希望杯”试题解法的深入研究.数理化学习（高中版），2017（08）：30-31.（收稿日期：2019-11-12）