1、2023高中数学竞赛标准讲义：第六章：三角函数一、根底知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。假设旋转方向为逆时针方向，那么角为正角，假设旋转方向为顺时针方向，那么角为负角，假设不旋转那么为零角。角的大小是任意的。定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2弧度。假设圆心角的弧长为L，那么其弧度数的绝对值|=,其中r是圆的半径。定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,那么正弦函数sin=
2、,余弦函数cos=,正切函数tan=，余切函数cot=，正割函数sec=,余割函数csc=定理1 同角三角函数的根本关系式，倒数关系：tan=,sin=，cos=；商数关系：tan=；乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos,
3、tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, cos=sin, tan=cot（奇变偶不变，符号看象限）。定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为-1，1。这里kZ.定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周
4、期为2。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=k均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2k时，y取最大值1；当且仅当x=2k-时，y取最小值-1。值域为-1，1。这里kZ.定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xk+)在开区间(k-, k+)上为增函数, 最小正周期为，值域为（-，+），点（k，0），（k+，0）均为其对称中心。定理6 两角和与差的根本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=定理7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos,cos+cos=2coscos
5、, cos-cos=-2sinsin,sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).定理8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=定理9 半角公式:sin=,cos=,tan=定理10 万能公式: , ,定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，那么取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为，那么sin=,cos=，对任意的角.asin+bcos=sin(+).定理12 正弦
6、定理：在任意ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为ABC外接圆半径。定理13 余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(
7、x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x-1, 1)，函数y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x-1, 1). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x-, +).定理15 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa, kZ
8、. 如果aR，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理16 假设，那么sinxx-1，所以cos，所以sin(cosx) 0,又00，所以cos(sinx)sin(cosx).假设，那么因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)，所以0sinx-cosxcos(-cosx)=sin(cosx).综上，当x(0,)时，总有cos(sinx)0，求证：【证明】 假设+，那么x0，由-0得coscos(-)=sin,所以0sin(-)=cos, 所以01，所以假设+，那
9、么x0，由0-cos(-)=sin0,所以1。又0sin1，所以，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。3最小正周期确实定。例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】 首先，T=2是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=k+时，y=0（因为|2cosx|2）,所以假设最小正周期为T0，那么T0=m, mN+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以T0=2。4三角最值问题。例5 函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。【解法一】 令sinx=,那么有y=
10、因为，所以，所以1，所以当，即x=2k-(kZ)时，ymin=0，当，即x=2k+(kZ)时，ymax=2.【解法二】 因为y=sinx+,=2（因为(a+b)22(a2+b2)），且|sinx|1，所以0sinx+2，所以当=sinx，即x=2k+(kZ)时, ymax=2，当=-sinx，即x=2k-(kZ)时, ymin=0。例6 设0，求sin的最大值。【解】因为00, cos0.所以sin（1+cos）=2sincos2= =当且仅当2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。例7 假设A，B，C为ABC三个内角，试求sinA+sinB+
11、sinC的最大值。【解】 因为sinA+sinB=2sincos, sinC+sin, 又因为，由，得sinA+sinB+sinC+sin4sin,所以sinA+sinB+sinC3sin=,当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函数的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。5换元法的使用。例8 求的值域。【解】 设t=sinx+cosx=因为所以又因为t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因为t-1，所以，所以y-1.所以函数值域为例9 a0=1, a
12、n=(nN+)，求证：an.【证明】 由题设an0，令an=tanan, an，那么an=因为，an，所以an=，所以an=又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以。又因为当0xx，所以注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x时，有tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。6图象变换：y=sinx(xR)与y=Asin(x+)(A, , 0).由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，
13、纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。例10 例10 f(x)=sin(x+)(0, 0)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意xR成立。又0，解得=，因为f(x)图象关于对称，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(kZ)，即=(2k+1) (kZ).又0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数；取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数；取k=2时，此时f(x)=sin(x+)在0，上不是单调函数，综上，=或2。7三角公式的应用。例11 sin(-)=，sin(+)=- ，且-，+，求sin2,cos2的值。【解】 因为-，所以cos(-)=-又因为+，所以cos(+)=所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos