1、传染病传播模型传染病传播模型 人们不可能去做传染病传播的试验以获取数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里更不可能从医学的角度来分析各种传染病的传播，所以，我们只能按照一般的传播机理建立模型。传染病传播问题和自然科学中一些已经有确定规律的问题不同，不可能立即对它做出恰当的假设，建立完善的模型，只能先做出最简单的假设，建立模型，得出结果，分析是否符合实际，然后针对其不合理或不完善处，进行修改或补充假设，逐步得到较为合理的模型。模型模型 1（SI 模型）假设条件 (1)人群分为易感染者（Suscepti
2、ble）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t)和 i(t)。(2)在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。(3)每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。根据假设，每个病人每天可使 s(t)个健康者变为病人。因为病人数为Ni(t)，所以每天共有 Ns(t)i(t)个健康者被感染，即病人数Ni(t)的增加率为 Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下 进而有 再设初始时刻（t=0）病人的比例为i0，则由
3、s(t)+i(t)=1，得到初值问题 )()(d)(dtitNsttiN0)0()1(ddiiiitiLogistic 模型 初值问题的解为 teiti1111)(0可画出 i(t)t 和 di/dt i 的图形为 i(t)t 的图形 di/dt i 的图形 于是可知：当 t 时，i1，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。然而，这个模型在传染病流行的前期还是可用的，可用它来预报传染病高潮的到来：当 i=1/2时，di/dt 达到最大值(di/dt)m，这个时刻为 11ln01itm这时病人
4、增加得最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。还可以看出，tm 与 成反比。因为日接触率 表示给定地区的卫生水平，越小卫生水平越高，所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。模型模型 2（不考虑出生和死亡的 SIS 模型）有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以在 SI 模型的基础上，增加一个假设条件就会得到 SIS 模型。假设条件 (1)人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两
5、类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t)和 i(t)。(2)在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。(3)每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。(4)每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数，称为日治愈率日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/称为这种传染病的平平均传染期均传染期。如果考虑到假设条件(4)，则人员流程图如下 于是有 NiNsitiNdd记初始时刻的病人的比例 i0（i0 0），从而 SI模型可以修正为 我们称之为 Bernolli（贝努里）方
6、程的初值问题，其解析解为 0)0()1(ddiiiiiti其中 =/。由 和 1/的含义可知，是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数接触数。于是有,1,)1()1(11)(0001)(101tiiieitit1,01,1)(lim1tit我们画出 di/dt i 和 i t 的图形为 di/dt i 的图形（1）i(t)t 的图形（1）di/dt i 的图形（1）i(t)t 的图形（1）模型模型 3（考虑出生和死亡的 SIS 模型）当传染病的传播周期比较长时，若不考虑出生和死亡因素显然不妥，接下来考虑带有出生和死亡情况的 SIS 模型。假设条件 (1)人群分为易感染者（Susce
7、ptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t)和 i(t)。(2)在疾病传播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为，则人口的平均寿命为 1/。(3)每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。(4)每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数，称为日治愈率日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/称为这种传染病的平平均传染期均传染期。在上述的假设条件下，人员流程图如下 于是有 NsNN
8、iNsitsNddNiNsitiNdd 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 0）和 i0（i0 0），从而考虑出生和死亡的 SIS 模型为 00)0(,)0()1()1(dd)1(ddssiiiiiitsiiiiti而由 s+i=1 有 ds/dt=di/dt，于是，上式的第二个方程变为恒等式，从而模型简化为 0)0()1(ddiiiiiiti 如果令 =/(+)，则 仍表示整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，即接触数接触数。于是，以下的求解与讨论与不考虑出生和死亡的 SIS 模型相同。模型模型 4（不考虑出生和死亡的 SIR 模型）许多传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后
9、均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），它们已经退出传染系统。模型的假设条件为 (1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移移出者出者（Removed）三类，三类人在总人数N中占的比例分别为 s(t)，i(t)和 r(t)。(2)病人的日接触率为，日治愈率为，传染期接触数为 =/。(3)在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。在上述的假设条件下，人员流程图如下 由假设条件显然有 s(t)+i(t)+r(t)=1 NsitsNddNiNsitiNddNitrNdd 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0
10、 0）和 i0（i0 0）（不妨设移出者的初始值 r0=0），于是得到 SIR 模型为如下的初值问题 0)0(,dd)0(,dd)0(,dd00ritriiisitisssits而由 s+i+r=1 有 dr/dt=di/dt ds/dt，于是，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化为 上述的初值问题无法求出解析解，只能通过数值解法求出数值解。00)0(,dd)0(,ddiiisitisssits 例如，取 =1，=0.3，i(0)=0.02，s(0)=0.98，则求得数值解如下表，相应的 i(t)、s(t)曲线和 i s 曲线如下图。t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i(t)0.02
11、00 0.0390 0.0732 0.1285 0.2033 0.2795 0.3312 0.3444 0.3247 s(t)0.9800 0.9525 0.9019 0.8169 0.6927 0.5438 0.3995 0.2839 0.2027 t 9 10 15 20 25 30 35 40 45 i(t)0.2863 0.2418 0.0787 0.0223 0.0061 0.0017 0.0005 0.0001 0 s(t)0.1493 0.1145 0.0543 0.0434 0.0408 0.0401 0.0399 0.0399 0.0398 SIR 模型的 i(t)、s(t)
12、曲线 SIR 模型的 i s 曲线 在实际应用 SIR 模型时，模型中的参数经常通过一些统计资料来估计。事实上，能够求出解析解的微分方程模型是非常有限的，所以人们经常利用定性理论定性理论从方程本身推出解的相关性质。对于上述的 SIR 模型，就可以采用相轨线相轨线分析分析的方法，来获得i(t)、s(t)的一般变化规律。（参教案，略）模型模型 5（考虑出生和死亡的 SIR 模型）模型的假设 (1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，三类人在总人数 N 中占的比例分别为 s(t)，i(t)和 r(t)。(2)病人的日接触率为，日治愈率为，传染期接触数为 =/。(3)在疾病传
13、播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为，则人口的平均寿命为 1/。在上述的假设条件下，人员流程图如下 此时由假设条件有 s(t)+i(t)+r(t)=1 NsNNsitsNddNiNiNsitiNddNrNitrNdd 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0 0）和 i0（i0 0）（不妨设移出者的初始值 r0=0），于是得到考虑出生和死亡的 SIR模型如下 0)0(,dd)0(,dd)0(,dd00rritriiiisitissssits而由 s+i+r=1 有 dr/dt=di/dt ds/dt，于是，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化为 采用相轨线分析（参见ppt资料传染病传染病模型模型1模型4），可以证明：若 1，则i=0，s=1；若 1，则 i=ie，s=se，(ie,se)=(1/,(1)/)。00)0(,)(dd)0(,ddiiisitissssitsppt资料传染病模型传染病模型2侧重于模型分析侧重于模型分析