1、第1讲 数列的概念热 点 考 点 题 型 探 析考点1 数列的通项公式题型1 数列的前几项，求通项公式【例1】求以下数列的一个通项公式：【解题思路】写出数列的通项公式，应注意观察数列中和的联系与变化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列，和相关数列，等差、等比数列，以及由它们组成的数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式.【解析】联想数列即数列，可得数列的通项公式；将原数列改写为分母分别为分子分别为呈周期性变化，可以用，或，或表示.或，或分子为正偶数列，分母为得 观察数列可知：此题也可以利用关系式求解. 【名师指引】联想和转换是由认识未知的两种有效的思维方法.求数列的通项公式，应运用观
2、察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证.题型2 数列的前项和，求通项公式【例2】以下数列的前项和，分别求它们的通项公式.； .【解题思路】利用，这是求数列通项的一个重要公式.【解析】当时，当时，.当时，.当时，当时，.当时，.【名师指引】任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系：假设适合，那么把它们统一起来，否那么就用分段函数表示.题型3 数列的递推式，求通项公式【例3】数列中，求，并归纳出.【解题思路】的递推公式求前几项，可逐步计算.【解析】，由，可以归纳出.【名师指引】由递推公
3、式求通项，可以考虑“归纳猜测证明的方法，也可以构造新数列.【新题导练】1.有穷数列：，其中后一项比前一项大2.求此数列的通项公式；是否为此数列的项？【解析】设数列的第项为，那么令，故该数列的通项公式 令，解得， 不是有穷数列的项.2.数列中，求的值.【解析】由，得当时，；当时，两式相除，得.，.3.数列中，求，并归纳出.【解析】，由，可以归纳出考点2 与数列的通项公式有关的综合问题题型1 数列通项公式，求项数及最大最小项【例4】数列中，.是数列中的第几项？为何值时，有最小值？并求最小值.【解题思路】数列的通项与之间构成二次函数，可结合二次函数知识去探求.【解析】由，解得， 是数列中的第项.，
4、或时，.【名师指引】利用二次函数知识解决数列问题时，必须注意其定义域为正整数.题型2 数列通项公式，判断数列单调性及有界性 【例5】数列中，.求数列的最小项；判断数列是否有界，并说明理由.【解题思路】转化为判断数列的单调性，即证，或；从“数列的有界性定义入手.【解析】 ，数列是递增数列，数列的最小项为.，数列有界.【名师指引】数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列.【新题导练】4.数列中，求取最小值时的值.【解析】，时，取最小值.5.数列中，求数列的最大项和最小项.【解析】，又，数列是递增数列数列的最小项为，没有最大项. 抢 分 频 道 根底稳固训练，那么是这个数列的
5、A第9项 B第10项 C第11项 D第12项【解析】C，选C2.(2023年华师附中)数列的前项和为，且，那么数列的首项为 A或 B C D或【解析】D中令，得，或3.(2023恩城中学)定义在正整数集上的函数满足条件：，,那么的值为 A2 B 2 C4 D4【解析】B利用数列的周期性，周期为4，中数值最大的项是第 项.【解析】35.(2023恩城中学文)观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，那么可得出一般结论 .【解析】中，那么的值是 A B C D【解析】C利用数列的周期性，除前4项后，周期为6，综合拔高训练7.(2023恩城中学节选)数列的首项，其前项和求数列 的通项公式【解析】由， ，得：，即， ，的第项是二次函数，求.【解析】设，由，.中，.求这个数列的第10项；是否为该数列的项，为什么？求证：； 在区间内有无数列的项，假设有，有几项？假设无，说明理由.【解析】，；令，无整数解，不是该数列的项.，由，得，当且仅当时，在区间内有数列的项.