1、2023年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学理工农医类一、 选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1 假设a0，1，那么 (D)Aa1,b0 Ba1,b0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b02对于非0向时a,b,“a/b确实良 AA充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3将函数y=sinx的图象向左平移0 2的单位后，得到函数y=sin的图象，那么等于 DA B C. D.4如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 那么 BA B C D 5.从10名大学生毕业生
2、中选3个人担任村长助理，那么甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m CA 85 B 56 C 49 D 28 6. D是由不等式组，所确定的平面区域，那么圆 在区域D内的弧长为 BA B C D7正方体ABCD的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为CA2 B3 C. 4 D. 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8.设函数在，+内有定义。对于给定的正数K，定义函数 取函数=。假设对任意的，恒有=，那么w.w.w.k.s.5.u.c.o.m AK的最大值为2 B. K的最小值为2CK的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】二
3、、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，那么喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12_10在的展开式中，的系数为_7_(用数字作答)11、假设x(0, )那么2tanx+tan(-x)的最小值为2. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12、以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，那么双曲线C的离心率为13、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，B层中甲、乙都被抽到的概
4、率为，那么总体中的个数数位 50 。14、在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，那么w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1球心到平面ABC的距离为 12 ；2过，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为锐角的正切值为 3 15、将正ABC分割成2，nN个全等的小正三角形图2，图3分别给出了n=2,3的情形，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三普及平行于某边的任一直线上的数当数的个数不少于3时都分别一次成等差数列，假设顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，那么有f(2)=2，f(3)= ，f(n)= (
5、n+1)(n+2)三解答题：本大题共6小题，共75分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.本小题总分值12分在，求角A，B，C的大小。解：设由得，所以又因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得，于是所以，因此，既由A=知，所以，从而或，既或故或。17.本小题总分值12分为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为根底设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含工程的个数分别占总数的.、，现在3名工人独立地从中任选一个工程参与建设。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m I求他们选择的工程所属类别互不相同的概率；II记为3人中选择的工程属于根底设施工程、民生工程和
6、产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。解:记第1名工人选择的工程属于根底设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同相互独立，且P=，P=，P=（1） 他们选择的工程所属类别互不相同的概率P=3！P=6PPP=6=(2) 解法1 设3名工人中选择的工程属于民生工程的人数为，由己，-B3，且=3。所以P=0=P=3=， P=1=P=2= = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m P=2=P=1=P=3=P=0= = 故的分布是0123P的数学期望E=0+1+2+3=2解法2 第i名工人
7、选择的工程属于根底工程或产业工程分别为事件，i=1,2,3 ，由此，D，相互独立，且P-，= P+P=+=所以-,既， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故的分布列是12318.本小题总分值12分如图4，在正三棱柱中，D是的中点，点E在上，且。（I） 证明平面平面（II） 求直线和平面所成角的正弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解 I 如以下图，由正三棱柱的性质知平面又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。2解法1 如以下图，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- AB
8、C的性质及D是AB的中点知ABCD， ABDF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又CDDF=D，所以AB平面CDF，而ABAB，所以AB平面CDF，又AB平面ABC，故平面AB C平面CDF。过点D做DH垂直CF于点H，那么DH平面AB C。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 连接AH，那么HAD是AD和平面ABC所成的角。由AB=A A，不妨设A A=，那么AB=2，DF=，D C=，CF=，AD=，DH=，所以 sinHAD=。即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。解法2 如以下图，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A=，那么AB=2，相关各点的坐标
9、分别是A(0,-1,0)， B，0，0， C0，1， D，-，。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设平面ABC的法向量为n=x，y，z,那么有解得x=-y， z=-，故可取n=(1，-，)。所以，(n)=。由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。19.本小题总分值13分某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 试写出关于
10、的函数关系式； 当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解 设需要新建个桥墩，所以 由知， 令，得，所以=64 当064时0. 在区间64，640内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。20本小题总分值13分在平面直角坐标系xOy中，点P到点F3，0的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 求点P的轨迹C； 设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 解设点P的坐标为x，y，那么3x-2由题设 当x2时，由得 化简得 当时 由得 化简得 故点
11、P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧局部与抛物线在直线x=2的左侧局部包括它与直线x=2的交点所组成的曲线，参见图1如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A2，B2，直线AF，BF的斜率分别为=，=.当点P在上时，由知. 当点P在上时，由知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 假设直线l的斜率k存在，那么直线l的方程为i当k，或k，即k-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M，N，都在C 上，此时由知MF= 6 - NF= 6 - w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而MN= MF+ NF= 6 - + 6 - =12 - ( +)由 得 那么，是这个方程的两根，所以+=xMN=12 - +=12 - 因为当 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当且仅当时，等号成立。2当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，那么知， 设直线AF与椭圆的另一交点为E 所以。而点A，E都在上，且 有1知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 假设直线的斜率不存在，那么=3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为21.本小题总分值13分对于数列假设存在常数M0,对任意的，恒有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 那么称数列为B-数列（1） 首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其