1、 3 矩阵的条件数与病态线性方程组矩阵的条件数与病态线性方程组 判断计算方法的好坏，可用算法是否稳定、判断计算方法的好坏，可用算法是否稳定、解的精确程度以及计算量、存储量的大小来衡量。解的精确程度以及计算量、存储量的大小来衡量。然而，同一方法用于不同问题，效果却可以相差然而，同一方法用于不同问题，效果却可以相差很远。很远。121221.00012xxxx解为解为 122;0 xx例如例如 方程组方程组 方程组方程组 121220.99991.9999xxxx的解为的解为 121;1xx它们的解变化很大，这样的方程组称为“病态”它们的解变化很大，这样的方程组称为“病态”方程组。方程组。下面，我们
2、给出方程组“病态”，“良态”下面，我们给出方程组“病态”，“良态”概念及其衡量标准，并介绍判断近似解可靠性方概念及其衡量标准，并介绍判断近似解可靠性方法。法。为找出刻画方程组为找出刻画方程组AX=b（A非奇异，非奇异，b0）病态程度的衡量标准，我们来分析）病态程度的衡量标准，我们来分析A，b初始数据微小变化对解初始数据微小变化对解X的影响。的影响。由于方程组由于方程组AX=b系数矩阵系数矩阵A与右端向量与右端向量b的初始数据微小变化引起解的很大变化，这样的初始数据微小变化引起解的很大变化，这样的方程组称为“病态”方程组。的方程组称为“病态”方程组。1 矩阵的条件数与线性方程组的性态矩阵的条件数
3、与线性方程组的性态（1）仅）仅b有有小扰动小扰动 b b 设方程组设方程组 AX=b+b b 的解为的解为 即即 ()A XXbb-得得 A Xb即即 1XAb于是有于是有 1XAb另一方面，由另一方面，由得得 bA X且且 0X 故故 1AXb XXX由由与与有有 1XbAAXb表明解的相对误差不超过右端向量表明解的相对误差不超过右端向量b的相对误差的的相对误差的 1AA倍。倍。（2）仅有小扰动）仅有小扰动A A（设（设 A+A A 仍可逆）仍可逆）设方程组设方程组()AA Xb的解为的解为 即即()()AA XXb-得得()0A XXA X即即 1()XAA XX 于是有于是有 1XAA
4、XX XXX因因A+A A可逆且可逆且b0 从而从而X+X0X0，故由上式可得故由上式可得 1XAAAXXA1AA倍。倍。表明解的相对误差不超过系数矩阵表明解的相对误差不超过系数矩阵A的的 1AA 分析表明，数分析表明，数 反映了方程组反映了方程组AX=b的解的解对初始数据对初始数据A，b扰动的灵敏度，可用来刻画方程组扰动的灵敏度，可用来刻画方程组的病态程度。的病态程度。我们称数我们称数 为矩阵为矩阵A的条件数，记作的条件数，记作 1AA()Cond A1()Cond AA A即即 1()Cond AAA与与 1222()Cond AAA由线性代数知识，有由线性代数知识，有 max2min()
5、()()TTA ACond AA A 通常使用的条件数有在行模意义下的条件数通常使用的条件数有在行模意义下的条件数与在谱模意义下的条件数，即与在谱模意义下的条件数，即 定义定义 设设A是非奇异矩阵，若是非奇异矩阵，若 则称方程组则称方程组AX=b为病态方程组；为病态方程组；若若()Cond A相对地小，相对地小，则称方程组则称方程组 AX=b 为为 比如矩阵比如矩阵 111 1.0001A及其逆矩阵及其逆矩阵 110001100001000010000A1)(ACond良态方程组。良态方程组。在行模意义下的条件数在行模意义下的条件数 1()20001 2.000140004Cond AAA因此
6、称方程组因此称方程组 121221.00012xxxx为病态方程组。为病态方程组。在实际计算中，常通过一些容易得到的信息来推断在实际计算中，常通过一些容易得到的信息来推断方程组是否病态。方程组是否病态。例如，当出现下列情况之一时，方程组很可能病态：例如，当出现下列情况之一时，方程组很可能病态：（1）用选主元消去法消元中出现小主元；）用选主元消去法消元中出现小主元；（2）系数行列式的绝对值相对地很小；）系数行列式的绝对值相对地很小；（3）系数矩阵元素间在数量级上相差很大且无）系数矩阵元素间在数量级上相差很大且无一定规律；一定规律；（4）出现了相对地很大的解。）出现了相对地很大的解。利用定义判断一个方程组是否病态，需要计算利用定义判断一个方程组是否病态，需要计算矩阵的条件数，从而涉及计算逆矩阵，极不方便。矩阵的条件数，从而涉及计算逆矩阵，极不方便。方程组的病态性质，是方程组本身的特性。对方程组的病态性质，是方程组本身的特性。对于病态方程组，用一般的求解方法不易求得较精于病态方程组，用一般的求解方法不易求得较精确的解，而且病态越严重，求解越困难。确的解，而且病态越严重，求解越困难。练习练习:求矩阵求矩阵A的条件数，其中的条件数，其中 3121A,2,1),(pACondp