1、第三章 数列四 数列综合应用【考点阐述】数列综合应用【考试要求】4运用等差数列、等比数列及求和知识解决数列综合问题。【考题分类】一选择题共2题1.湖北卷文7等比数列中，各项都是正数，且，成等差数列，那么A. B. C. D【答案】C2.江西卷理5等比数列中，=4，函数，那么 A B. C. D. 【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，那么只与函数的一次项有关；得：。二填空题共1题1.辽宁卷理16数列满足那么的最小值为_.三解答题共14题1.安徽卷文21设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的
2、正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，为递增数列.()证明：为等比数列；设，求数列的前项和. 【命题意图】此题考查等比列的根本知识，利用错位相减法求和等根本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】1求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，证明为等比数列；2利用1的结论求的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和.【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其
3、他所求结论.对于数列求和问题，假设数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和乘以公比，然后错位相减解决.2.福建卷文17数列 中，前n项和满足- n. ( I ) 求数列的通项公式以及前n项和； II假设S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t的值。3.湖北卷文19某地今年年初拥有居民住房的总面积为a单位：m2，其中有局部旧住房需要撤除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也撤除面积为b单位：m2的旧住房。分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加
4、了30%，那么每年撤除的旧住房面积b是多少？计算时取1.15=1.64.湖南卷文20给出下面的数表序列：其中表nn=1,2,3 有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。I写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表nn3不要求证明； II每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 求和： 5.江苏卷19设各项均为正数的数列的前n项和为，数列是公差为的等差数列。1求数列的通项公式用表示；2设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。解析 本小题主要考查等差数列的
5、通项、求和以及根本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。总分值16分。1由题意知：， ，化简，得：，当时，适合情形。故所求2方法一， 恒成立。 又，故，即的最大值为。方法二由及，得，。于是，对满足题设的，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，那么符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为。6.江西卷理22证明以下命题：对任一正整a,都存在整数b,c(bc)，使得成等差数列。存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列。【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 1考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到
6、结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当成等差数列，那么，分解得：选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解比照目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数m，n，假设m，相似：那么三边对应成比例， 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。7.江西卷文22正实数数列中,且成等差数列.(1) 证明数列中有无穷多项为无理数；(2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和.证
7、明：1由有：，从而，方法一：取，那么用反证法证明这些都是无理数.假设为有理数，那么必为正整数，且，故.,与矛盾，所以都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数;方法二：因为，当的末位数字是时，的末位数字是和，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多(2) 要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或当时，有又必为偶数，所以满足即时，为整数；同理有也满足，即时，为整数；显然和是数列中的不同项；所以当和时，为整数；由有，由有.设中满足的所有整数项的和为，那么8.全国新卷理17设数列满足求数列的通项公式；令，求数列的前n项和解：由
8、，当n1时，。而 所以数列的通项公式为。由知 从而 -得 。即 9. 上海卷理20数列的前项和为，且，1证明：是等比数列；2求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(nNx)；解不等式SnSn，得，最小正整数n=1511. 四川卷理21数列an满足a10，a22，且对任意m、nNx都有a2m1a2n12amn12(mn)2求a3，a5；设bna2n1a2n1(nNx)，证明：bn是等差数列；设
9、cn(an+1an)qn1(q0，nNx)，求数列cn的前n项和Sn.12. 天津卷理22在数列中，且对任意，成等差数列，其公差为。()假设=2k，证明成等比数列；()假设对任意，成等比数列，其公比为. i设1.证明是等差数列； (ii)假设，证明【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等根底知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。【解析】证明：由题设，可得。所以=2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比数列。证法一：i证明：由成等差数列，及成等比数列，得当1时，可知1，k从而所以是等差数列，公差为1。证
10、明：，可得，从而=1.由有所以因此，以下分两种情况进行讨论：当n为偶数时，设n=2m()假设m=1,那么.假设m2，那么+所以(2)当n为奇数时，设n=2m+1所以从而综合12可知，对任意,有证法二：i证明：由题设，可得所以由可知。可得，所以是等差数列，公差为1。ii证明：因为所以。所以，从而，。于是，由i可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。从而。所以，由，可得。于是，由i可知以下同证法一。13. 天津卷文22在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.证明成等比数列；求数列的通项公式；记，证明.【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比
11、数列的定义、数列求和等根底知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。【解析】I证明：由题设可知，。从而，所以，成等比数列。II解：由题设可得所以 .由，得 ，从而.所以数列的通项公式为或写为，。III证明：由II可知，以下分两种情况进行讨论：当n为偶数时，设n=2m假设，那么，假设，那么 .所以，从而当n为奇数时，设。所以，从而综合1和2可知，对任意有14. 上海春卷23首项为的数列满足为常数。1假设对于任意的，有对于任意的都成立，求的值；2当时，假设，数列是递增数列还是递减数列？请说明理由；3当确定后，数列由其首项确定，当时，通过对数列的探究，写出“是有穷数列的一个真命题不必证明。