1、35 数列的前n项和求和是数列中的重要题型,要能熟练掌握一些常用方法一、明确复习目标1.熟练掌握等差等比数列的求和方法;2.对于非等差等比数列的求和要能转化为等差等比数列,或通过拆并项分组等方法求和.二建构知识网1等差、等比数列的求和 公比含字母时一定要讨论无穷递缩等比数列时，2错位相减法求和：如：3分组求和：把数列的每一项分成假设干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。4合并求和：如：求的和。5裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾假设干项。常见拆项： , , 6公式法求和 7倒序相加法求和:如等差数列求和公式的推导, 如an=8其它求和法：归纳猜测法，奇偶法等三、双基题
2、目练练手1.一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于 A5 B6 C7 D82.设S和T分别为两个等差数列的前n项和，假设对任意nN，都有，那么第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是 ( )A.43 B.32 C.74 D.78713.数列an的前n项和Sn5n3n2(nNx)，那么有 ( )ASnna1nanBSnnanSnna1DnanSn0时显然成立;当q-1,故q的取值范围是得 【研讨.欣赏】(2023湖北)二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为。数列的前n项和为，点均在函数的图像上。求数列an的通项公式；设，是数
3、列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m。本小题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等根底和根本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：I依题意可设那么由 得 所以又由点 均在函数的图像上得当 时当 时所以II由I得故，=因此使得成立的m必须且必须满足即故满足最小的正整数m为10五提炼总结以为师1掌握各种求和根本方法；2利用等比数列求和公式时注意分讨论。3. 解题时注意转化和有目的的配凑;同步练习 35数列求和【选择题】1.数列中，假设前n项的和为10，那么项数n为 A11B99C120D1212.数列前n项的和为 A BCD 32023全国等差数列中，那么此数列前20项和
4、等于 A160 B180 C200 D22042023湖北数列的前n项和,(n=1,2,)其中a、b是非零常数，那么存在数列、使得 A为等差数列，为等比数列B和都为等差数列C为等差数列，都为等比数列D和都为等比数列【填空题】 5.求和= 6.在等比数列的前n项和中，最小，且，前n项和，那么n=_,公比q=_简答.提示：1-4.CBBC; 4.an=sn-sn-1=(a+b-bn)5.;6. 解:因为为等比数列，所以依题意知 【解答题】7. 设数列an的首项a1=a，且, 记，nl，2，3，I求a2，a3；II判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；III求解：Ia2a1+=a+，a3=a2
5、=a+；II a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,所以b1=a1=a, b2=a3=(a), b3=a5=(a),猜测：bn是公比为的等比数列 证明如下： 因为bn+1a2n+1=a2n=(a2n1)=bn, (nNx) 所以bn是首项为a, 公比为的等比数列 III.8.数列的前n项和为S,且n=1,2,3.求 I的值及数列的通项公式； II的值.解：I由a1=1，n=1，2，3，得，由n2，得n2，又a2=，所以an=(n2), 数列an的通项公式为；II由I可知是首项为，公比为项数为n的等比数列， =9. 数列an中，a1=8，a4=2，且满足an+22an+1+an=0nNx.
6、1求数列an的通项公式.2设bn=nNx，Sn=b1+b2+bn，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有Sn总成立？假设存在，求出m；假设不存在，请说明理由.解：1an+22an+1+an=0，an+2an+1=an+1annNx.an是等差数列.设公差为d，又a1=8，a4=a1+3d=8+3d=2，d=2.an=2n+10.2bn=，Sn=b1+b2+bn=1+=1=.假设存在整数m满足Sn总成立.又Sn+1Sn=0，数列Sn是单调递增的.S1=为Sn的最小值，故，即m8.又mNx，适合条件的m的最大值为7. 10.2023天津当时，求数列的前n项和求。解：当时，这时数列的前项和式两边同乘以，得 式减去式，得假设，假设，由，当时，那么当时，此时，假设，假设，【探索题】正项数列满足 ，且求证12证明:1将条件变形，得于是，有将这n-1个不等式叠加，得 故 2注意到，于是由1得，从而，有