1、 摘 要多重积分的形式是各种各样的，掌握其计算方法及技巧是解答问题的关键。本文主要从直角坐标、坐标变换、对称性、分部积分法、转化成曲线积分或曲面积分等方面讨论了二重积分及三重积分的几种计算方法和技巧，并分别举例说明。此篇论文较为全面地总结了多重积分的计算方法，而且剖析了各种方法在运用中的常见错误，希望能够给初学者提供一定的借鉴作用。关键词：二重积分；三重积分；计算方法AbstractThe form of multiple integral is various. Mastering calculation methods is the key to solve problems. This
2、paper mainly discusses several calculation methods of double integral and triple integral, from every aspects such as rectangular coordinates, coordinate transformation, symmetry, integrationbyparts, converting curvilinear integral or surface integral and so on, meanwhile giving some examples respec
3、tively. This paper more comprehensively summarizes the calculation methods of multiple integral, and analyzes the common errors in the use of various methods, hoping to provide certain reference for beginners.Keywords: double integral; triple integral; calculation methods目 录摘 要IABSTRACTII1.引言12.二重积分
4、的计算方法12.1 直角坐标系下二重积分的计算12.2 用变量变换法计算二重积分62.3 用极坐标计算二重积分82.4 对称性在二重积分计算中的应用132.5 用分部积分法计算二重积分152.6 曲线积分在二重积分计算中的应用163.三重积分的计算方法173.1 直角坐标系下三重积分的计算173.2 用变量变换法计算三重积分223.3 用柱面坐标计算三重积分223.4 用球坐标计算三重积分233.5 用广义球坐标计算三重积分253.6 对称性在三重积分计算中的应用263.7 用分部积分法计算三重积分283.8 曲面积分在三重积分计算中的应用304.结束语31参考文献32致 谢33II多重积分计
5、算方法小结1. 引言积分学在古希腊时期初步出现，是微积分学的一个分支,它的发展经历了一个漫长的时期。在高等数学中积分学既是重点又是难点，而多重积分又是积分学中的重要部分。多重积分是定积分的推广,被积函数由一元函数推广到二元函数、三元函数及多元函数，积分区域由数轴拓展到平面域、立体空间域及多维空间域。多重积分在数学、物理学以及其他实际问题中应用广泛，数学中主要是深入的研究几何图形的面积、体积等，物理学中可用来求非均匀平面的质量、重心、转动惯量等。虽然在各领域有着重要的地位，但是多重积分根据被积区域和被积函数的具体特点有许多不同的计算方法。这些方法充满着技巧性，各有各的优点，也各有各的局限性。梳理
6、和小结多重积分的计算方法有利于使各种技巧融会贯通并熟练掌握。2. 二重积分的计算方法2.1 直角坐标系下二重积分的计算参考文献华东师范大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社,2010(第四版)：219-221.在直角坐标系下计算二重积分的主要方法是：化二重积分为累次积分。一般地，矩形或三角形积分区域，通常利用直角坐标计算。2.1.1 先后的累次积分称平面点集为型区域，如图1. 若在上连续，、在上连续，则积分形式为：.图1步骤如下：(1)画出积分区域的图形；(2)确定的积分限：将区域垂直投影到轴，此时的最小值就是积分下限，的最大值就是积分上限；(3)确定的积分限：一条平行于轴的直线沿轴正方
7、向穿过积分区域，穿入线为积分下限，穿出线为积分上限；(4)计算累次积分：先计算得到一个关于的多项式，再计算得出二重积分的结果。2.1.2 先后的累次积分称平面点集为型区域，如图2. 若在上连续，、在上连续，则积分形式为： 图2步骤如下：(1)画出积分区域的图形；(2)确定的积分限：将区域垂直投影到轴，此时的最小值就是积分下限，的最大值就是积分上限；(3)确定的积分限：一条平行于轴的直线沿轴正方向穿过积分区域，穿入线为积分下限，穿出线为积分上限；(4)计算累次积分：先计算得到一个关于的多项式，再来计算得出二重积分的结果。若积分区域既是型区域又是型区域，则.若积分区域两者皆不是，则可用平行于坐标轴
8、的直线将积分区域分成型区域或型区域，然后结合积分可加性，分别计算出对应区域的积分再求和即可。一般在实际计算中，选用哪种积分次序化二重积分为累次积分，既要考虑积分区域的类型也要考虑被积函数的特点。例2.1.1 计算二重积分，设，且解：先画出积分区域，显然是一个矩形区域，一眼就能看出积分限：从到，从到.法一(积分区域看作型)：图3法二(积分区域看作型)：图4图3和图4是一个矩形积分区域，积分限很容易看出，但是多数题目的积分区域是曲线或直线围成的有界非矩形区域，这样一来确定积分限就没那么容易了！例2.1.2 计算，设是由曲线和直线所围成的区域。解：法一(积分区域看作型)：(1)确定的积分限。将区域的
9、图像垂直投影到轴，找到的最小值和最大值，则的积分限从到。(2)确定的积分限，让一条竖直线沿着轴正方向穿过区域，由于的积分限要写成关于的函数形式，所以穿入线为积分下限，穿出线为积分上限。图5法二(积分区域看作型)：确定和的积分限的步骤跟上面差不多，只不过把竖直线改为水平直线沿着轴正方向穿过区域，的积分限写成关于的函数形式：图6 例2.1.3 计算，这里是由抛物线和直线所围成的区域。解： 图7若把积分区域看作型，如图7，穿入线分成了上下两部分，此种情况下我们需要根据穿入线把区域分成和两部分，然后分别求这两部分的积分再相加：这样当然可以继续算下去，但是很麻烦，若是我们把积分区域看作型，即先对后对积分
10、，这时穿入线和穿出线都是单一的，如图8图8简化后我们只需计算一个积分：结合例题2.1.3可知，选择积分顺序时我们更倾向于选择穿入线和穿出线相对单一的情况来减少计算量。 总结：在直角坐标系下，根据积分区域和被积函数的特征来选择合适的积分次序计算二重积分，可以简化计算过程。2.2 用变量变换法计算二重积分定理2.2常彦妮.二重积分的几种计算方法J.西安航空技术高等专科学校学报,2011,29(5):86. 设在平面上的封闭区域内连续，变换把平面上的闭区域一对一地映射到区域，且满足(1)，在上连续一阶偏导；(2)在上的行列式为，则 .用定理2.2能帮助被积函数和积分区域简单化，从而提高计算效率。例2
11、.2.1 设，求由抛物线，与双曲线，所围成的平面区域的面积(如图9)。解：图9作变量变换图10因为所以是可逆映射，则 这样，平面上的区域对应于平面上的矩形区域从而平面区域的面积为&2.3 用极坐标计算二重积分极坐标表示的点，与直角坐标表示的同一点有如下关系：.极坐标变换的行列式为在极坐标系下化二重积分为累次积分有三类情况：第一类：若原点，以极点为起点作射线穿过区域，射线与的边界的交点至多个，则称为型区域，如图11，则积分形式为：.图11步骤如下：(1)确定的积分限：两条从出发的射线把区域夹住，此时就是积分下限， 就是积分上限；(2)确定的积分限：对于，将固定，从极点出发射线穿过至多与有个交点(
12、若多于个交点将区域分割)，观察知就是积分下限，就是积分上限。(3)计算累次积分。类似的，以为圆心作圆，圆与的边界的交点至多个，则称为型区域，如图12，则积分形式为：.图12步骤如下：(1)确定的积分限：以极点为圆心的两个同心圆把区域夹住，此时就是积分下限，就是积分上限；(2)确定的积分限：对于，将固定，作同心圆穿过至多与有个交点(若多于个交点将区域分割)，观察知就是积分下限，就是积分上限。(3)计算累次积分。例2.3.1 将化为极坐标系下的二次积分。解： 积分区域为 法一(先后的累次积分)： (1)确定的积分限：轴、轴把区域夹住，故；(2)确定的积分限：从极点引射线穿过，第一个交点是极点，第二
13、个交点先在上(如图13)，然后在上(如图14)，所以射线将分成两部分。当时，；当时，。则有图13图14法二(先后的累次积分)： (1)确定的积分限：区域被圆心在极点，半径为的圆夹住，故；(2)确定的积分限：从极点引同心圆穿过，当(如图15)时，圆与交于轴和轴，；当(如图16)时，从变化到，即。则有图15图16第二类：若原点为的内点，如图17，的边界极坐标方程是，此时,则.图17例2.3.2 计算，其中是圆域.解： 显然为的内点,则 第三类：若原点在的边界上，如图18，的边界极坐标方程是，此时,则.图18例2.3.3 计算是由轴和曲线所围成的半圆形区域。解：在直角坐标系中，要对积分并没有直接的方
14、法，但是利用极坐标变换就可以轻松解决这类问题。先画出图形如图19，可看出原点在的边界上， 图19(1)确定的积分限：从到；(2)确定的积分限：扫描射线从穿入，从穿出，由于是圆形，因此可变换为.是否选择极坐标系我们要看两点:第一点是积分区域的形状，当积分区域是圆域、环域、扇域或环扇域时，极坐标变换能很大程度上简化这些积分区域，例如在直角坐标中作二重积分是复杂的，而转化成极坐标就变得简单多了；第二点是被积函数的形式，当被积函数中含有、或时，也可以尝试使用极坐标。若二者不可同时满足，则以积分区域的形状来下决定。2.4 对称性在二重积分计算中的应用 (1)若积分区域关于轴对称，记轴以上区域为. 如果被积函数是关于的奇函数，则；如果被积函数是关于的偶函数，则 .利用同样方法可以给出关于轴对称的结论。例2.3.1计算二重积分。区域由曲线和所围成。解： 图20由图20知积分区域关于轴对称，则有 (2)若积分区域关于轴和轴都对称，记. 如果或，则；如果，则 .(3)若积分区域关于原点对称，记如果，则；如果，则 .(4)若积分区域具有轮换对称性，则记如果，则；如果，则.例2.3.2 设区域为上的正值连续函数，和为常数，求