1、4.2 和、差、倍角的三角函数一、明确复习目标1.掌握和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和证明。二建构知识网络1.两角和与差公式所在的象限由a,b的符号而定) 2.倍角公式3. 想想这些公式的推导与联系；解题时要会“正用，“逆用，“变形使用,特别是余弦的二倍角公式,要熟练掌握正用(化单角),逆用(降次)和变形运用因式而宜.4解三角函数问题看两个焦点:一是角的变化,二是函数名称的联系,这是合理选用公式的重要依据.5.其它公式及变形:；(降次公式)由此可得半角公式:；万能公式:；三、双基题目练练手1.2023北京对任意的锐角，以下不等关系中正
2、确的选项是 ( ) Asin(+)sin+sin B. sin(+)cos+cos C.cos(+)sinsin D.cos(+)coscos2.2023江苏假设，那么= A B C D3.在中，给出以下四个论断：其中正确的选项是 ( ) A.B.C.D.4.2023江西在OAB中，O为坐标原点，那么当OAB的面积达最大值时， ABCD5.(2023江苏) 6.2023重庆，那么 。简答:1-4.DABD; 2.,.3.4.画图知,时最大.5.原式=,答案：26. 利用答案:四、经典例题做一做【例1】求值； 解(1):(2)【例2】(1)设(2) 且求解：(1) 因为所以所以，所以故(2) 原
3、式=又所以为第三象限角，所以思路方法: 1.三角函数变形着眼于两点：一是寻找角的变换,二是分析函数式的结构与联系，合理利用公式。2.涉及+、及的正切和差与积，通常用正切公式的变形公式。【例3】 、0，sin+sin=sin，cos+cos=cos，求的值.解：由，得sin=sinsin，cos=coscos.平方相加得sinsin2+coscos2=1.2cos=1.cos=.=.sin=sinsin0，.=.解法点粹：1.求角一般要先求出它的一个三角函数值;2.解题关键有二:一是消元,二是凑差角余弦公式,倒用.3.注意隐含条件sin0，否那么产生增根.【例4】为第二象限角，cos+sin=，
4、求sincos和sin2+cos2的值.解：由cos+sin=平方得1+2sincos=，即sin=，cos=.此时k+k+.cos+sin=0，sincos=0，cos0，sin0.为第三象限角.2k+2k+，kZ.sincos，即sincos0.sincos=，sin2+cos2=2sincos+12sin2=.【研讨.欣赏】2023湖南在ABC中，sinAsinBcosBsinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C的大小.解法一 由得所以即因为所以，从而由知 从而由即由此得所以解法二：由由、，所以即由得 所以即 因为，所以由从而，知B+2C=不合要求.再由，得 所以五提炼总结以为师1
5、.要熟练推证公式理清公式间的推导线索建议自己推证一遍所有公式、熟悉公式的正用逆用和变形应用,公式应用讲究一个“活字.2.熟悉角的变换技巧，注意倍角的相对性, 时时注意角的范围的讨论.3.掌握利用和、差、倍角公式化简、求值和证明三角恒等式方法和技巧。同步练习 4.2 和、差、倍角的三角函数【选择题】1.满足coscos=+sinsin的一组、的值是 ( )A.=，=B.=，=C.=，=D.=，=2.化简= ( )(A) (B) (C) 1 (D)3.全国卷设,且,那么 ( )A. B. C. D. 【填空题】4. (2023陕西)cos43cos77+sin43cos167的值为 5. 2023
6、春上海假设cos=，且0，那么tan=_6.tan(45+)=3,那么sin2-2cos2=_简答.提示：1-3. ABC；4. 5.由得sin=，tan=.法二：tan=.6.由得,sin2-2cos2=法二：sin2-2cos2=sin2-cos2-1=-cos()-sin()-1 =【解答题】7. =2，求 I的值； IIsin2+sin2+cos2的值.解：I tan=2, ;所以=；IIsin2+sin2+cos2=sin2+sin2+cos2sin2=2sincos+cos2=1.8.求。解:原式= 注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如此题平方差公式。9. 求证:证法1:左边=证法2:右边=由合比定理得10.(2023全国)的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值 解: 由A+B+C=, 得 = , 所以有cos =sin cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ 当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为【探索题】是否存在锐角、,使+2=, 同时成立假设存在,求出、,假设不存在,请说明理由.解:假设存在,由得由代入上式得, 又是方程的两个根,解得.、是锐角, ,tan=1.,代入得.即存在,使式同时成立.